CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

Théorème des accroissements finis

Il nous faut maintenant démontrer le théorème 9, c'est-à-dire prouver que l'on a F(a) = F(b), quels que soient a et b dans X. L'idée de la démonstration est d'une extrême simplicité, et fort ingénieuse. Elle consiste à observer que, si l'on contemple le graphe F dans l'intervalle ]a, b[, on peut trouver un point c de cet intervalle où la tangente au graphe de F est parallèle à la « corde » joignant les points (a, F(a)) et (b, F(b)) du graphe ; si F(a) ≠ F(b), cette corde n'est pas horizontale, la tangente en c non plus, et l'on a par suite F′(c) ≠ 0, contrairement à l'hypothèse !

Mais ce raisonnement purement géométrique doit être rendu rigoureux grâce à une démonstration effective de l'existence du point c en question. Noter que la pente de la corde joignant les points (a, F(a)) et (b, F(b)) est égale à :

Nous sommes donc ramenés, pour établir le théorème 9, à établir le résultat bien plus utile encore que voici :

Théorème 11 (formule des accroissements finis). Soit F une fonction dérivable dans un intervalle compact[a, b]. Il existe un point c ∈ ]a, b[ où l'on a :

(Par une fonction dérivable sur[a, b]nous entendons une fonction qui admet une dérivée en tout point x tel que a < x < b, ainsi qu'une dérivée à droite en a et une dérivée à gauche en b. On démontre souvent le théorème 11 sans supposer l'existence de ces dérivées en a et b.)

Notons d'abord qu'il suffit d'établir le théorème 11 pour les fonctions F telles que F(a) = F(b). Supposons-le en effet établi moyennant cette hypothèse supplémentaire, et substituons à la fonction F donnée la fonction :

on a évidemment G(a) = F(a), et G(b) = F(b) − [F(b) − F(a)] = F(a) = G(a). De plus, il est clair que G admet partout dans X une dérivée donnée par :

puisque la dérivée d'une fonction linéaire ct + d est égale à c. Établi pour G, le théorème 11 exprime l'existence d'un nombre :

ce qui, d'après (29), fournit aussitôt la relation (28) pour la fonction F.

Nous pouvons donc bien supposer F(a) = F(b) = 0 ; le théorème 11 s'énonce alors comme suit :

Théorème 11 bis. Soit F une fonction dérivable dans un intervalle compact[a, b]et telle que F(a) = F(b). Il existe un point c ∈ ]a, b[ où l'on a F′(c) = 0.

Ce résultat est connu sous le nom de « théorème de Rolle », académicien français de la fin du xvii^e siècle, et resté célèbre pour avoir eu le premier, du moins le suppose-t-on, l'idée géométrique d'une démonstration du théorème 11 bis. Cette idée, identique à celle que nous avons exposée au début de ce chapitre, consiste à remarquer que le théorème 11 bis exprime l'existence d'un point du graphe de F où la tangente à celui-ci est horizontale ; et la meilleure façon de trouver un tel point (c'est du moins l'impression que l'on retire d'une réflexion géométrique simple) consiste à le chercher parmi les points où la fonction F est maximum ouminimum.

Supposons en effet trouvé un point c vérifiant les conditions suivantes ; on a :

pour tout x ∈ [a, b]. Le rapport :

défini pour tout h ≠ 0 assez petit (parce qu'on suppose c distinct des extrémités a et b de l'intervalle considéré) est alors positif ou nul pour h < 0 (quotient de deux nombres négatifs), et négatif ou nul pour h > 0. Mais si |h| est suffisamment petit, ce rapport est égal, à 10^-^p près, à F′(c) ; on en conclut que F′(c) doit être à la fois positif et négatif, ce qui prouve que F′(c) = 0. On parviendrait évidemment à la même conclusion en supposant :

pour tout x ∈ [a, b].

On voit ainsi qu'en définitive les théorèmes 9, 10 et 11 reposent sur[...]

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Écrit par

Roger GODEMENT : professeur à l'université de Paris-VII

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Roger GODEMENT, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :

« CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable ». Dans Encyclopædia Universalis [en ligne]. Consulté le sur

Encyclopædia Universalis, s.v. « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable », Consulté le ,

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Autres références

ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 1 304 mots
À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler...
ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)
- Écrit par Jean ITARD
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BARROW ISAAC (1630-1677)
- Écrit par Universalis
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Mathématicien et théologien anglais qui fut un des précurseurs du calcul infinitésimal. Ordonné ministre anglican en 1668, Isaac Barrow enseigna le grec à l'université de Cambridge (1660-1663) et fut nommé, en 1662, professeur de mathématiques au collège Gresham de Londres. En 1664, il devient professeur...
BERNOULLI LES
- Écrit par Universalis
- 1 238 mots
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– Systématisation du calcul infinitésimal. En 1687, Jacques écrit à Leibniz pour lui demander de lui préciser de nombreux points obscurs des premiers fondements du calcul infinitésimal parus dans les Acta eruditorum en 1684. Leibniz, absent de Hanovre, ne répondit qu'en 1690 et la tradition...
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