- 1. Notion de borne supérieure
- 2. Intégrale d'une fonction étagée
- 3. Intégration des fonctions réglées
- 4. Caractérisations des fonctions réglées
- 5. Intégration et dérivation
- 6. Détermination d'une fonction par sa dérivée
- 7. Théorème des accroissements finis
- 8. Théorème du maximum
- 9. Formule de Taylor
- 10. Bibliographie
CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable
- Article mis en ligne le
- Modifié le
- Écrit par Roger GODEMENT
Formule de Taylor
Nous allons maintenant établir le dernier « grand » résultat de l'analyse infinitésimale, à savoir la formule de Taylor, qui permet, au voisinage d'un point, de remplacer une fonction « suffisamment régulière » par un polynôme qui lui est « approximativement » égal.
Soit f une fonction définie dans un intervalle ouvert X. Nous dirons que f est de classe C1 dans X si elle admet une dérivée f′(x) en tout point de X, et si celle-ci est fonction continue de x. Si f′ est elle-même de classe C1, on dit que f est de classe C2 ; on peut alors attribuer à f une dérivée seconde continue f″ = ( f ′)′. En poursuivant ainsi de proche en proche on définit de façon évidente les dérivées successives, et la notion de fonction de classe Cp, c'est-à-dire admettant dans X des dérivées continues jusqu'à l'ordre p inclusivement.
Supposons f de classe C1 dans X, et appliquons le théorème 10 à la fonction continue f′ ; on trouve que :
Soit maintenant u et v deux fonctions de classe C1 dans X ; la fonction w = uv l'est aussi et sa dérivée est donnée par la formule w′ = u′v + uv′, que nous avons déjà indiquée après l'énoncé du théorème 11. On en déduit que :
Pour cela supposons, dans (35), que f soit de classe C2 et donc f ′ de classe C1. Appliquons la formule (36) en choisissant u(x) = x − b, d'où u′(x) = 1, et v(x) = f ′(x), d'où v′(x) = f ″(x) ; il vient u(b) = 0, u(a) = a − b, v(b) = f′(b), v(a) = f′(a), d'où :
Supposons maintenant f de classe C3, donc f″ de classe C1 ; on peut calculer la dernière intégrale en faisant u(x) = f″ (x) et v(x) = (x − b)2/2 dans la formule (36), puisque alors v′ (x) = x − a ; il vient donc, puisque v(b) = 0 :
Si f est de classe C4, on peut calculer la dernière intégrale en prenant, dans la formule d'intégration par parties, u(x) = f‴ (x) et v(x) = (x − b)3/2.3 ; comme v(b) = 0, il vient alors manifestement :
Il est clair que le raisonnement se poursuit aussi longtemps que les dérivées existent et sont continues. Autrement dit, si f est de classe Cp+1, on a la relation :
La formule de Taylor avec reste intégral est la relation :
Noter que le polynôme en question possède, au point a, les mêmes dérivées que la fonction f jusqu'à l'ordre p inclusivement, ce qui le caractérise entièrement puisqu'il est de degré p au plus.
La formule de Taylor n'a pas d'intérêt si l'on ne connaît pas de méthode simple pour évaluer l'ordre de grandeur du reste Rp dans (39) ou (40) puisque, dans la pratique, on désire toujours s'en servir pour approcher la fonction f par le polynôme de degré p considéré ci-dessus. Supposons pour cela a ≤ b dans (38), l'autre cas se traite de même, avec des changements de signe triviaux dans les raisonnements, de sorte que l'on a (b − x)p ≥ 0 pour a ≤ x ≤ b. Soit m et M le minimum et le maximum, dans l'intervalle compact[a, b], de la fonction continue f(p+1) (x) ; on a alors :[...]
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Écrit par
- Roger GODEMENT : professeur à l'université de Paris-VII
Classification
Pour citer cet article
Roger GODEMENT. CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Médias
Fonction étagée
Encyclopædia Universalis France
Fonction réglée
Encyclopædia Universalis France
Intervalles
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
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À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler...
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ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)
- Écrit par Jean ITARD
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...volumes par excès et défaut en remplaçant chaque couche par un cylindre circonscrit ou inscrit. Il utilisera, pour conclure, le raisonnement appelé, depuis le xviie siècle,« par exhaustion », et qui remonte à Eudoxe. Apparaissent ainsi nos « sommes de Riemann » et nos intégrales définies. -
BARROW ISAAC (1630-1677)
- Écrit par Encyclopædia Universalis
- 305 mots
Mathématicien et théologien anglais qui fut un des précurseurs du calcul infinitésimal. Ordonné ministre anglican en 1668, Isaac Barrow enseigna le grec à l'université de Cambridge (1660-1663) et fut nommé, en 1662, professeur de mathématiques au collège Gresham de Londres. En 1664, il devient professeur...
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BERNOULLI LES
- Écrit par Encyclopædia Universalis
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- 1 média
– Systématisation du calcul infinitésimal. En 1687, Jacques écrit à Leibniz pour lui demander de lui préciser de nombreux points obscurs des premiers fondements du calcul infinitésimal parus dans les Acta eruditorum en 1684. Leibniz, absent de Hanovre, ne répondit qu'en 1690 et la tradition... - Afficher les 25 références
