CALCUL INFINITÉSIMALCalcul à une variable

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Formule de Taylor

Nous allons maintenant établir le dernier « grand » résultat de l'analyse infinitésimale, à savoir la formule de Taylor, qui permet, au voisinage d'un point, de remplacer une fonction « suffisamment régulière » par un polynôme qui lui est « approximativement » égal.

Soit f une fonction définie dans un intervalle ouvert X. Nous dirons que f est de classe C1 dans X si elle admet une dérivée f′(x) en tout point de X, et si celle-ci est fonction continue de x. Si f′ est elle-même de classe C1, on dit que f est de classe C2 ; on peut alors attribuer à f une dérivée seconde continue f″ = ( ′)′. En poursuivant ainsi de proche en proche on définit de façon évidente les dérivées successives, et la notion de fonction de classe Cp, c'est-à-dire admettant dans X des dérivées continues jusqu'à l'ordre p inclusivement.

Supposons f de classe C1 dans X, et appliquons le théorème 10 à la fonction continue f′ ; on trouve que :

quels que soient ab ∈ X.

Soit maintenant u et v deux fonctions de classe C1 dans X ; la fonction uv l'est aussi et sa dérivée est donnée par la formule w′ = uuv′, que nous avons déjà indiquée après l'énoncé du théorème 11. On en déduit que :

d'où la formule d'intégration par parties  :
valable pour u et v de classe C1 dans X, très commode pour le calcul pratique des intégrales, mais dont l'intérêt est ailleurs lorsqu'on s'occupe de mathématiques. Nous allons obtenir la formule de Taylor en combinant les formules (35) et (36).

Pour cela supposons, dans (35), que f soit de classe C2 et donc ′ de classe C1. Appliquons la formule (36) en choisissant u(x) = x − b, d'où u′(x) = 1, et v(x) = ′(x),  d'où v′(x) = ″(x) ; il vient u(b) = 0, u(a) = a − bv(b) = f′(b), v(a) = f′(a), d'où :

Supposons maintenant f de classe C3, donc f″ de classe C1 ; on peut calculer la dernière intégrale en faisant u(x) = f″ (x) et v(x) = (x − b)2/2 dans la formule (36), puisque alors v′ (x) = x − a  ; il vient donc, puisque v(b) = 0 :

Si f est de classe C4, on peut calculer la dernière intégrale en prenant, dans la formule d'intégration par parties, u(x) = f‴ (x


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Pour citer l’article

Roger GODEMENT, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 15 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-une-variable/