CALCUL INFINITÉSIMALCalcul à une variable
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Caractérisations des fonctions réglées
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle X, et Y un intervalle (ou un ensemble) contenu dans X. Nous dirons que f est constante à 10-p près sur Y s'il existe un nombre c tel que l'on ait |f (x) − c| ≤ 10-p pour tout x ∈ Y.
Théorème 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle compact X. Pour que f soit réglée dans X il faut et il suffit que pour tout entier p, on puisse partager l'intervalle X en un nombre fini d'intervalles partiels X1, ..., Xn tels que f soit constante à 10-p près dans chaque Xi.
C'est presque la définition. Si en effet on peut trouver, pour chaque Xi, une constante ci telle que |f (x) − ci| ≤ 10-p pour tout x ∈ Xi, on peut immédiatement construire deux fonctions étagées ϕ′ et ϕ″ vérifiant ϕ′ ≤ f ≤ ϕ″ et ϕ″ (x) − ϕ′ (x) ≤ 2.10-p pour tout x ∈ X, à savoir les fonctions qui dans chaque Xi, sont respectivement égales à ci − 10-p et à ci + 10-p. Inversement, si f est réglée, il est possible de réaliser les conditions (8) ci-dessus, puis de partager X en intervalles sur chacun desquels ϕ′ et ϕ″ sont constantes, et sur chacun desquels f est, par suite, constante à 10-q près.
Dans la pratique, on a besoin de caractériser les fonctions réglées par un critère exprimant que leur comportement « au voisinage de chaque valeur de la variable » est assez simple pour que f (x) n'oscille pas d'une manière incontrôlable lorsque x se rapproche de plus en plus d'une « limite » donnée. Cela va nous obliger à développer quelques considérations sur les valeurs limites d'une fonction.
Soit f une fonction réglée sur un intervalle X, et soit a un point de X ; considérons les valeurs de f aux points x ∈ X tels que a < x (ce qui suppose a distinct de l'extrémité droite de X) ; nous allons montrer que lorsque x se « rapproche de plus en plus » de a, le nombre f (x) « se rapproche de plus en plus » lui aussi d'une certaine valeur b bien définie, que l'on appellera la valeur limite à droite de f au point a. Noter que cette propriété est évidente si f est une fonction étagée ; il y a en effet alors un a′ > a tel que f
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Écrit par :
- Roger GODEMENT : professeur à l'université de Paris-VII
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Pour citer l’article
Roger GODEMENT, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-une-variable/