- 1. Notion de borne supérieure
- 2. Intégrale d'une fonction étagée
- 3. Intégration des fonctions réglées
- 4. Caractérisations des fonctions réglées
- 5. Intégration et dérivation
- 6. Détermination d'une fonction par sa dérivée
- 7. Théorème des accroissements finis
- 8. Théorème du maximum
- 9. Formule de Taylor
- 10. Bibliographie
CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable
- Article mis en ligne le
- Modifié le
- Écrit par Roger GODEMENT
Caractérisations des fonctions réglées
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle X, et Y un intervalle (ou un ensemble) contenu dans X. Nous dirons que f est constante à 10-p près sur Y s'il existe un nombre c tel que l'on ait |f (x) − c| ≤ 10-p pour tout x ∈ Y.
Théorème 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle compact X. Pour que f soit réglée dans X il faut et il suffit que pour tout entier p, on puisse partager l'intervalle X en un nombre fini d'intervalles partiels X1, ..., Xn tels que f soit constante à 10-p près dans chaque Xi.
Fonction réglée
Encyclopædia Universalis France
C'est presque la définition. Si en effet on peut trouver, pour chaque Xi, une constante ci telle que |f (x) − ci| ≤ 10-p pour tout x ∈ Xi, on peut immédiatement construire deux fonctions étagées ϕ′ et ϕ″ vérifiant ϕ′ ≤ f ≤ ϕ″ et ϕ″ (x) − ϕ′ (x) ≤ 2.10-p pour tout x ∈ X, à savoir les fonctions qui dans chaque Xi, sont respectivement égales à ci − 10-p et à ci + 10-p. Inversement, si f est réglée, il est possible de réaliser les conditions (8) ci-dessus, puis de partager X en intervalles sur chacun desquels ϕ′ et ϕ″ sont constantes, et sur chacun desquels f est, par suite, constante à 10-q près.
Dans la pratique, on a besoin de caractériser les fonctions réglées par un critère exprimant que leur comportement « au voisinage de chaque valeur de la variable » est assez simple pour que f (x) n'oscille pas d'une manière incontrôlable lorsque x se rapproche de plus en plus d'une « limite » donnée. Cela va nous obliger à développer quelques considérations sur les valeurs limites d'une fonction.
Soit f une fonction réglée sur un intervalle X, et soit a un point de X ; considérons les valeurs de f aux points x ∈ X tels que a < x (ce qui suppose a distinct de l'extrémité droite de X) ; nous allons montrer que lorsque x se « rapproche de plus en plus » de a, le nombre f (x) « se rapproche de plus en plus » lui aussi d'une certaine valeur b bien définie, que l'on appellera la valeur limite à droite de f au point a. Noter que cette propriété est évidente si f est une fonction étagée ; il y a en effet alors un a′ > a tel que f (x) soit constant dans l'intervalle a < x < a′ (car si l'on décompose X en intervalles partiels sur chacun desquels f est constante, le point a est soit intérieur à l'un de ces intervalles, soit l'extrémité gauche de l'un d'entre eux) ; il est alors clair que si x > a se rapproche de a, f (x), qui ne bouge pas, se rapproche de plus en plus d'une valeur limite (à savoir de sa valeur, constante, dans l'intervalle a < x < a′).
Dans le cas général, nous savons qu'il existe, pour chaque entier p, une partition de X en intervalles partiels sur chacun desquels f (x) est constant à 10-p près. Pour chaque entier p, il y a donc dans X un point ap > a tel que f (x) soit constant à 10-p-2 près dans l'intervalle a < x < ap, d'où un nombre réel bp tel que :
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Écrit par
- Roger GODEMENT : professeur à l'université de Paris-VII
Classification
Pour citer cet article
Roger GODEMENT. CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Médias
Fonction étagée
Encyclopædia Universalis France
Fonction réglée
Encyclopædia Universalis France
Intervalles
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 1 304 mots
À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler...
-
ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)
- Écrit par Jean ITARD
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- 2 médias
...volumes par excès et défaut en remplaçant chaque couche par un cylindre circonscrit ou inscrit. Il utilisera, pour conclure, le raisonnement appelé, depuis le xviie siècle,« par exhaustion », et qui remonte à Eudoxe. Apparaissent ainsi nos « sommes de Riemann » et nos intégrales définies. -
BARROW ISAAC (1630-1677)
- Écrit par Encyclopædia Universalis
- 305 mots
Mathématicien et théologien anglais qui fut un des précurseurs du calcul infinitésimal. Ordonné ministre anglican en 1668, Isaac Barrow enseigna le grec à l'université de Cambridge (1660-1663) et fut nommé, en 1662, professeur de mathématiques au collège Gresham de Londres. En 1664, il devient professeur...
-
BERNOULLI LES
- Écrit par Encyclopædia Universalis
- 1 238 mots
- 1 média
– Systématisation du calcul infinitésimal. En 1687, Jacques écrit à Leibniz pour lui demander de lui préciser de nombreux points obscurs des premiers fondements du calcul infinitésimal parus dans les Acta eruditorum en 1684. Leibniz, absent de Hanovre, ne répondit qu'en 1690 et la tradition... - Afficher les 25 références
