CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

Caractérisations des fonctions réglées

Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle X, et Y un intervalle (ou un ensemble) contenu dans X. Nous dirons que f est constante à 10^-p près sur Y s'il existe un nombre c tel que l'on ait |f (x) − c| ≤ 10^-p pour tout x ∈ Y.

Théorème 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle compact X. Pour que f soit réglée dans X il faut et il suffit que pour tout entier p, on puisse partager l'intervalle X en un nombre fini d'intervalles partiels X₁, ..., X_n tels que f soit constante à 10^-p près dans chaque X_i.

C'est presque la définition. Si en effet on peut trouver, pour chaque X_i, une constante c_i telle que |f (x) − c_i| ≤ 10^-p pour tout x ∈ X_i, on peut immédiatement construire deux fonctions étagées ϕ′ et ϕ″ vérifiant ϕ′ ≤ f ≤ ϕ″ et ϕ″ (x) − ϕ′ (x) ≤ 2.10^-p pour tout x ∈ X, à savoir les fonctions qui dans chaque X_i, sont respectivement égales à c_i − 10^-p et à c_i + 10^-p. Inversement, si f est réglée, il est possible de réaliser les conditions (8) ci-dessus, puis de partager X en intervalles sur chacun desquels ϕ′ et ϕ″ sont constantes, et sur chacun desquels f est, par suite, constante à 10^-q près.

Dans la pratique, on a besoin de caractériser les fonctions réglées par un critère exprimant que leur comportement « au voisinage de chaque valeur de la variable » est assez simple pour que f (x) n'oscille pas d'une manière incontrôlable lorsque x se rapproche de plus en plus d'une « limite » donnée. Cela va nous obliger à développer quelques considérations sur les valeurs limites d'une fonction.

Soit f une fonction réglée sur un intervalle X, et soit a un point de X ; considérons les valeurs de f aux points x ∈ X tels que a < x (ce qui suppose a distinct de l'extrémité droite de X) ; nous allons montrer que lorsque x se « rapproche de plus en plus » de a, le nombre f (x) « se rapproche de plus en plus » lui aussi d'une certaine valeur b bien définie, que l'on appellera la valeur limite à droite de f au point a. Noter que cette propriété est évidente si f est une fonction étagée ; il y a en effet alors un a′ > a tel que f (x) soit constant dans l'intervalle a < x < a′ (car si l'on décompose X en intervalles partiels sur chacun desquels f est constante, le point a est soit intérieur à l'un de ces intervalles, soit l'extrémité gauche de l'un d'entre eux) ; il est alors clair que si x > a se rapproche de a, f (x), qui ne bouge pas, se rapproche de plus en plus d'une valeur limite (à savoir de sa valeur, constante, dans l'intervalle a < x < a′).

Dans le cas général, nous savons qu'il existe, pour chaque entier p, une partition de X en intervalles partiels sur chacun desquels f (x) est constant à 10^-p près. Pour chaque entier p, il y a donc dans X un point a_p> a tel que f (x) soit constant à 10^-p-2 près dans l'intervalle a < x < a_p, d'où un nombre réel b_p tel que :

on peut évidemment supposer, si on le désire, que a₁≥ a₂≥ a₃≥ ..., en remplaçant au besoin a_p par a_p-1 pour chaque p tel que a_p> a_p-1. Cela dit, choisissons un entier p et considérons les nombres b_p, b_p+1, b_p+2, ... ; si m et n sont deux entiers supérieurs à p, tels par exemple que p ≤ m ≤ n, considérons un x tel que a < x < a_n ; on aura aussi les inégalités a < x < a_m, d'où, à la fois :ce qui montre évidemment que l'on a :dès que m et n dépassent p. D'après le critère de Cauchy (théorème 3), il existe donc un nombre réel b tel que l'on ait |b − b_n| ≤ 10^-p-1 pour tout n ≥ p, et en particulier pour[...]