CALCUL INFINITÉSIMALCalcul à une variable
Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis
Caractérisations des fonctions réglées
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle X, et Y un intervalle (ou un ensemble) contenu dans X. Nous dirons que f est constante à 10-p près sur Y s'il existe un nombre c tel que l'on ait |f (x) − c| ≤ 10-p pour tout x ∈ Y.
Théorème 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle compact X. Pour que f soit réglée dans X il faut et il suffit que pour tout entier p, on puisse partager l'intervalle X en un nombre fini d'intervalles partiels X1, ..., Xn tels que f soit constante à 10-p près dans chaque Xi.
C'est presque la définition. Si en effet on peut trouver, pour chaque Xi, une constante ci telle que |f (x) − ci| ≤ 10-p pour tout x ∈ Xi, on peut immédiatement construire deux fonctions étagées ϕ′ et ϕ″ vérifiant ϕ′ ≤ f ≤ ϕ″ et ϕ″ (x) − ϕ′ (x) ≤ 2.10-p pour tout x ∈ X, à savoir les fonctions qui dans chaque Xi, sont respectivement égales à ci − 10-p et à ci + 10-p. Inversement, si f est réglée, il est possible de réaliser les conditions (8) ci-dessus, puis de partager X en intervalles sur chacun desquels ϕ′ et ϕ″ sont constantes, et sur chacun desquels f est, par suite, constante à 10-q près.
Dans la pratique, on a besoin de caractériser les fonctions réglées par un critère exprimant que leur comportement « au voisinage de chaque valeur de la variable » est assez simple pour que f (x) n'oscille pas d'une manière incontrôlable lorsque x se rapproche de plus en plus d'une « limite » donnée. Cela va nous obliger à développer quelques considérations sur les valeurs limites d'une fonction.
Soit f une fonction réglée sur un intervalle X, et soit a un point de X ; considérons les valeurs de f aux points x ∈ X tels que a < x (ce qui suppose a distinct de l'extrémité droite de X) ; nous allons montrer que lorsque x se « rapproche de plus en plus » de a, le nombre f (x) « se rapproche de plus en plus » lui aussi d'une certaine valeur b bien définie, que l'on appellera la valeur limite à droite de f au point a. Noter que cette propriété est évidente si f est une fonction étagée ; il y a en effet alors un a′ > a tel que f
1
2
3
4
5
…
pour nos abonnés,
l’article se compose de 17 pages
Écrit par :
- Roger GODEMENT : professeur à l'université de Paris-VII
Classification
Autres références
« CALCUL INFINITÉSIMAL » est également traité dans :
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
L'expression « calcul infinitésimal » désigne habituellement l'ensemble des notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations, tel qu'il a été mis au point au cours des xviie et xviiie siècles, instrument merveilleux qui ouvrit aux mathématiques […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-histoire/
CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables
Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d'un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu'au début du xxe siècle.Ce n'est qu'aux environs de 1930 que sont abordés les problèmes difficiles de cette branche de l'analy […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-plusieurs-variables/
ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)
À l'aube du xix e siècle, le mathématicien norvégien N. H. Abel allait révolutionner sa science, et Hermite a pu déclarer : « Il a laissé aux mathématiciens de quoi s'occuper pendant cinq cents ans. » D'abord algébriste, il établit l'impossibilité de résolution par radicaux des équations algébriques de degré ≥ 5 et sa méthode ouvrait la voie aux travaux de Galois sur les groupes de substitution d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/niels-henrik-abel/#i_26303
ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)
Dans le chapitre « De l'intuition à la preuve » : […] Puis, sur sa lancée, il « pèse » la sphère et montre que « toute sphère est quadruple du cône ayant la base égale au grand cercle de la sphère et la hauteur égale au rayon de la sphère ». Il invente ses sphéroïdes – nos ellipsoïdes de révolution – et il les pèse, ainsi que leurs segments et les segments de sphère. Il invente ses conoïdes droits – nos paraboloïdes de révolution – et il les pèse, c' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/archimede/#i_26303
BARROW ISAAC (1630-1677)
Mathématicien et théologien anglais qui fut un des précurseurs du calcul infinitésimal. Ordonné ministre anglican en 1668, Isaac Barrow enseigna le grec à l'université de Cambridge (1660-1663) et fut nommé, en 1662, professeur de mathématiques au collège Gresham de Londres. En 1664, il devient professeur de mathématiques à l'université de Cambridge. Parmi les premiers travaux de Barrow, relatifs p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/isaac-barrow/#i_26303
BERNOULLI LES
Dans le chapitre « Jean Bernoulli » : […] Frère cadet de Jacques, Jean Bernoulli (1667-1748) étudia d'abord la médecine, mais, attiré invinciblement par les mathématiques, il se consacra vite aux sciences exactes. Nommé professeur à Groningue en 1695 sur la recommandation de Huygens, il succéda en 1705 à l'université de Bâle à son frère Jacques, à la mort de ce dernier. D'un caractère vif et emporté, il ne supportait pas de ne pas être […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/les-bernoulli/#i_26303
LE CALCUL DES FLUXIONS (I. Newton)
En octobre 1666, Isaac Newton (1642-1727) écrit Le Calcul des fluxions qui, sans être immédiatement publié, sera déterminant pour le développement du calcul différentiel. Il y définit le concept de fluxions. Newton décrit une particule parcourant une courbe à l'aide de deux quantités : la vitesse horizontale x' et la vitesse verticale y' qu'il appelle fluxions des quantités fluentes x et y as […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/le-calcul-des-fluxions/#i_26303
CANTOR GEORG (1845-1918)
Georg Cantor est le mathématicien de génie qui a ouvert pour les mathématiques le paradis de l’infini . Il a développé la théorie des ensembles qui permet de traiter tout objet mathématique comme un ensemble d’éléments déterminé, fini ou infini, et a introduit le concept de transfini, qui permet une arithmétique de l’infiniment grand. C’est une rupture avec deux mille ans d’histoire, saluée avec […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-cantor/#i_26303
CARLEMAN TORSTEN (1892-1949)
Avant d'enseigner, Carleman travailla à l'université d'Upsal (où il il fit ses études supérieures) et publia une trentaine d'articles mathématiques traitant de la théorie des fonctions d'une variable réelle ou complexe et de la théorie des équations intégrales ; parmi ces œuvres, les plus connues sont : Sur les équations singulières à noyau réel et symétrique (1923) et Les Fonctions quasi analyt […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/torsten-carleman/#i_26303
CARNOT LAZARE NICOLAS MARGUERITE (1753-1823)
Dans les manuels d'histoire, la grande figure de l'« Organisateur de la victoire » plane, seule respectable, bien au-dessus des figures sanguinaires de la Révolution. Fils d'un avocat et notaire bourguignon, Lazare Carnot fait de bonnes études secondaires à Autun, entre à dix-huit ans à l'École du génie de Mézières, arrive en garnison en 1783 comme capitaine à Arras, y fréquente Robespierre. Chaud […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lazare-nicolas-marguerite-carnot/#i_26303
CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)
Dans le chapitre « Le retour à la rigueur » : […] Mais plus peut-être que par ces remarquables découvertes, Cauchy a agi sur les mathématiques de son temps par son enseignement, largement répandu dans ses Cours à l'École polytechnique, ses Leçons publiées par lui-même ou par son disciple Moigno, et ses Exercices de mathématiques. Bien qu'il ait été précédé dans cette voie par Gauss, c'est tout de même à Cauchy qu'il faut attribuer la plus grande […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/augustin-louis-cauchy/#i_26303
CAVALIERI FRANCESCO BONAVENTURA (1598-1647)
Mathématicien dont les recherches en géométrie préfigurent le calcul intégral. Dans sa jeunesse, Cavalieri rejoignit les jésuates (souvent appelés clercs religieux de saint Jérôme), un ordre religieux qui suivait la règle de saint Augustin et qui fut supprimé en 1668 par le pape Clément X. Les œuvres d'Euclide éveillèrent son intérêt pour les mathématiques et, après sa rencontre avec Galilée, Cava […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/francesco-bonaventura-cavalieri/#i_26303
COURNOT ANTOINE AUGUSTIN (1801-1877)
Dans le chapitre « La place fondatrice des mathématiques dans l'œuvre de Cournot » : […] En saluant en Cournot le père de l'économie mathématique, Walras, dès 1873, a certes assuré à l'auteur des Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses une assez grande notoriété en économie politique, mais il a contribué à dissocier les études économiques entreprises par Cournot de la philosophie mathématique qui les sous-tend. Si intéressante, en effet, et si importan […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/antoine-augustin-cournot/#i_26303
FERMAT PIERRE DE (1601-1665)
Dans le chapitre « Calcul infinitésimal » : […] Dès 1629, Fermat, dans sa Méthode de recherche des maximums et des minimums , apparaît comme un précurseur du calcul différentiel. Voici, en langage plus moderne, cette méthode : Si R ( x ) est une fonction rationnelle de x , l'équation R ( x ) = K a généralement au moins deux racines a et a + e . Une valeur extrémale de R a lieu pour un x compris entre a et a + e . On développera par rapp […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pierre-de-fermat/#i_26303
GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)
Dans le chapitre « La rigueur » : […] Non seulement Gauss nous apparaît tout proche de la pensée moderne par son sens profond des « structures » cachées sous les phénomènes mathématiques et de leur caractère général, mais c'est lui aussi qui le premier insiste avec vigueur sur la nécessité de démonstrations absolument rigoureuses, sans recours à de plus ou moins fallacieuses « intuitions » (exigence d'ailleurs tout à fait naturelle dè […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/carl-friedrich-gauss/#i_26303
ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences
Dans le chapitre « Déterminations infinitésimales » : […] L'étude des comportements asymptotiques et des objets infinitésimaux représente une part substantielle de la recherche mathématique en arabe. À partir du ix e siècle, les mathématiciens ont engagé la recherche en trois principaux domaines : le calcul des aires et des volumes infinitésimaux ; la quadrature des lunules, les aires et les volumes extrema lors de l'examen du problème isopérimétrique. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/islam-la-civilisation-islamique-les-mathematiques-et-les-autres-sciences/#i_26303
LEIBNIZ : CALCUL DIFFÉRENTIEL
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) publie en 1684 les détails de son calcul différentiel dans son traité Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus . Il y reprend ses découvertes antérieures. Il avait introduit la notation moderne d'une intégrale dès 1675, calculé les dérivées des fonctions usuelles en 1676 et démontré les règles de dérivation des produits, quotients et composés […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leibniz-calcul-differentiel/#i_26303
LEIBNIZ GOTTFRIED WILHELM
Dans le chapitre « Un mathématicien de génie qui renouvelle la pensée mathématique » : […] C'est que Leibniz, cas unique dans l'histoire des sciences, n'était pas seulement un grand mathématicien : ses mathématiques étaient étroitement liées à sa métaphysique ; il ne s'était intéressé aux mathématiques, seule forme explicite de pensée symbolique, que pour faire progresser l'art d'inventer en général. Il fallait étendre cette pensée par signes à toutes les connaissances. C'est dans ce s […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leibniz-g-w/#i_26303
L'HOSPITAL GUILLAUME DE (1661-1704)
Mathématicien français né et mort à Paris. Guillaume de L'Hospital, marquis de Sainte-Mesme, a été l'un des premiers élèves de Jean Bernoulli qui lui enseigna les méthodes nouvelles de l'analyse mathématique. Il a fait connaître à l'ensemble des mathématiciens les travaux de Leibniz et des Bernoulli et a introduit la notation différentielle dans son ouvrage sur le calcul infinitésimal, Analyse de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/guillaume-de-l-hospital/#i_26303
LIMITE NOTION DE
La notion de limite fait son apparition dans un ouvrage du mathématicien anglais B. Robins intitulé A Discourse Concerning the Nature and Certainty of Sir Isaac Newton's Method of Fluxions and Prime and Ultimate Ratios (1735) ; c'est une réponse aux critiques formulées par le philosophe G. Berkeley à l'encontre du calcul infinitésimal dans son célèbre pamphlet The Analyst (1734). Robins essaie d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/notion-de-limite/#i_26303
NEWTON ISAAC (1642-1727)
Dans le chapitre « L'œuvre mathématique » : […] L'intérêt de Newton pour les mathématiques semble s'être éveillé en 1664, à la faveur de lectures telles que la Géométrie de Descartes et l' Arithmétique des infinis de Wallis. Si Barrow eut un rôle stimulant, il faut assurément attribuer l'inspiration décisive pour l'invention du calcul infinitésimal à la lignée de mathématiciens qui va de Descartes à Fermat – et sa méthode des maxima et des m […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/isaac-newton/#i_26303
NOVA STEREOMETRIA DOLIORUM VINARIORUM (J. Kepler)
Depuis 1611, Johannes Kepler (1571-1630) était à Linz l’astronome et astrologue de l’empereur du Saint-Empire Matthias de Habsbourg et sa charge principale était l’édition de tables astronomiques fondées sur les observations de l’astronome danois Tycho Brahe (1546-1601), dont il avait été l’assistant à Prague. Même si elle est moins connue que son œuvre astronomique, sa contribution au développem […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nova-stereometria-doliorum-vinariorum/#i_26303
PASCAL BLAISE (1623-1662)
Dans le chapitre « L'analyse infinitésimale » : […] Pascal occupe une place centrale dans l'histoire de l'analyse infinitésimale. Ses travaux sur ce sujet se situent environ entre 1650 et 1660, donc dans les dernières années de sa vie, et s'appuient sur ceux, un peu antérieurs, de Stevin, Descartes, Roberval, Torricelli, Grégoire de Saint-Vincent et Tacquet. Ils sont à peu près contemporains de ceux de Fermat, qui compte d'ailleurs parmi ses princi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/blaise-pascal/#i_26303
STIRLING JAMES (1692-1770)
Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de fabrication des verriers et publia ultérieurement A Desc […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/stirling-james-1692-1770/#i_26303
TAYLOR BROOK (1685-1731)
Mathématicien anglais, né à Edmonton et mort à Londres, célèbre pour ses contributions au développement du calcul infinitésimal. Taylor fit ses études au collège Saint John, à Cambridge, et étudia les mathématiques sous la direction de John Machin et de John Keill. Il obtint, en 1708, une remarquable solution du problème du « centre d'oscillation », qui pourtant demeura inédite jusqu'en mai 1714 ( […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/brook-taylor/#i_26303
TRAITÉ DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL
Le mathématicien français Joseph Bertrand, après avoir été un étudiant très précoce – il a soutenu sa thèse à l'âge de dix-sept ans – et publié de nombreux travaux en théorie des nombres et en théorie des groupes, est devenu en 1862 professeur d'analyse au Collège de France. Il rédige de nombreux livres destinés à des lycéens puis s'engage dans la rédaction d'un cours en trois volumes, le Traité […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/traite-de-calcul-differentiel-et-de-calcul-integral/#i_26303
WALLIS JOHN (1616-1703)
Mathématicien anglais né le 23 novembre 1616 à Ashford (Kent) et mort le 28 octobre 1703 à Oxford, Wallis est un des plus illustres précurseurs d'Isaac Newton. En 1632, il entre au collège Emmanuel de Cambridge, où il se distingue dans de nombreux domaines. Environ huit ans plus tard, il obtient une bourse au Queens' College, Cambridge. Il est ordonné prêtre en 1640 et, peu de temps après, montre […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/john-wallis/#i_26303
Voir aussi
Pour citer l’article
Roger GODEMENT,
« CALCUL INFINITÉSIMAL -