CALCUL INFINITÉSIMALCalcul à une variable

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Intégration et dérivation

Soit X un intervalle quelconque, et f une fonction réglée dans X, c'est-à-dire qui admet des limites à gauche et à droite en chaque point de X. Choisissons une fois pour toutes un point a de X. Pour tout ∈ X, la fonction f est réglée et donc intégrable dans l'intervalle compact d'extrémités a et t. Nous nous proposons d'étudier la fonction F définie sur X par les formules suivantes :

Notons qu'en convenant de définir :

on a :
nous dirons que F est la primitive de f au point a. On a évidemment F(a) = 0.

Les deux outils essentiels pour l'étude de F sont d'une part l'inégalité (10) démontrée plus haut, et d'autre part la relation :

valable quels que soient abc ∈ X, et dont l'analogie avec la célèbre « relation de Chasles » :
de la théorie des segments de droite orientés est évidente. La démonstration de (17) consiste d'abord à utiliser la relation (16) et des calculs triviaux pour ramener la démonstration de (17) au cas où l'on a ≤ c ≤ b ; on vérifie alors (17) immédiatement lorsque f est une fonction étagée en utilisant la définition (1) de l'intégrale, puis on passe de là au cas général en appliquant (17) à des fonctions étagées « très voisines » de f, et en utilisant des arguments d'approximation analogues à ceux qui nous ont servi pour établir par exemple le théorème 4. Intuitivement, la relation (17) exprime que l'aire comprise entre le graphe de f, l'axe des x, et les verticales a et b, est somme de l'aire analogue comprise entre les verticales a et c, et de l'aire analogue comprise entre les verticales c et b, ce qui est « évident géométriquement », c'est-à-dire aussi longtemps qu'on n'exige pas de véritable démonstration...

Cela fait, revenons à la fonction F (t). Pour un t ∈ X distinct de l'extrémité droite de X, on a + h ∈ X pour tout nombre > 0 suffisamment petit. Comme f admet en t une limite à droite (+ 0), il y a, pour tout entier p, un nombre tt dans X tel que la relation tp implique | (h) − (t + 0)| ≤ 10-p. Posons (+ 0) et considérons, pour un tel h, l'intégrale :

puisque :

Comme   | (x) − 


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Roger GODEMENT, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-une-variable/