CALCUL INFINITÉSIMALCalcul à une variable

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Intégrale d'une fonction étagée

Considérons, sur un intervalle compact X = [a, b], une fonction f (x) à valeurs réelles ; nous la supposerons même, pour le moment, à valeurs positives. Si l'on trace le graphe de f, on obtient dans le plan une « courbe », l'ensemble des points (xy) tels que l'on ait ∈ X et = f (x), qui délimite avec l'axe des abscisses et les verticales des points a et b une portion de plan dont on se propose de calculer la surface (dans l'hypothèse où la portion en question serait assez simple pour que l'on puisse attribuer une signification à ce calcul).

Les surfaces les plus simples à calculer sont celles des rectangles. On est ainsi amené à envisager d'abord un cas particulier, celui où l'on peut découper l'intervalle donné X en intervalles partiels X1, ..., Xp tels que la fonction f (x) prenne, dans chaque Xk, une valeur constante ak ; noter que nous n'excluons aucunement le cas où certains Xk se réduiraient à un point, et que nous n'imposons pas aux Xk d'être compacts − certains Xk peuvent contenir leurs extrémités, d'autres ne pas les contenir. Le graphe de la fonction f se compose alors de segments de droite horizontaux, et on dit que f est une fonction étagée. La portion de plan comprise entre le graphe et l'axe des x est alors réunion de p rectangles ayant pour bases les intervalles Xk, et pour hauteurs les valeurs ak correspondantes. Supposant, ce qui est permis, les intervalles Xk deux à deux disjoints (c'est-à-dire sans points communs), nous appellerons alors, par définition, intégrale de f sur l'intervalle X le nombre :

l(X) désigne, d'une manière générale, la longueur d'un intervalle X. Le nombre I( ) ainsi obtenu dépend naturellement de la fonction f considérée, mais non du découpage de l'intervalle X en intervalles partiels Xk sur lesquels f est constante ; si, en effet, l'on découpe, d'une autre façon, X en intervalles deux à deux disjoints Y1, ..., Yq sur lesquels f prend les valeurs b1, ... bq, de sorte que nous devons prouver que :
il est clair que chaque Xk est réunion de ses intersections X∩ Yh avec les divers Yh ; c [...]

Fonction étagée

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Roger GODEMENT, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-une-variable/