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CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

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Intégrale d'une fonction étagée

Considérons, sur un intervalle compact X = [a, b], une fonction f (x) à valeurs réelles ; nous la supposerons même, pour le moment, à valeurs positives. Si l'on trace le graphe de f, on obtient dans le plan une « courbe », l'ensemble des points (x, y) tels que l'on ait x ∈ X et y = f (x), qui délimite avec l'axe des abscisses et les verticales des points a et b une portion de plan dont on se propose de calculer la surface (dans l'hypothèse où la portion en question serait assez simple pour que l'on puisse attribuer une signification à ce calcul).

Fonction étagée - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction étagée

Encyclopædia Universalis France

Les surfaces les plus simples à calculer sont celles des rectangles. On est ainsi amené à envisager d'abord un cas particulier, celui où l'on peut découper l'intervalle donné X en intervalles partiels X1, ..., Xp tels que la fonction f (x) prenne, dans chaque Xk, une valeur constante ak ; noter que nous n'excluons aucunement le cas où certains Xk se réduiraient à un point, et que nous n'imposons pas aux Xk d'être compacts − certains Xk peuvent contenir leurs extrémités, d'autres ne pas les contenir. Le graphe de la fonction f se compose alors de segments de droite horizontaux, et on dit que f est une fonction étagée. La portion de plan comprise entre le graphe et l'axe des x est alors réunion de p rectangles ayant pour bases les intervalles Xk, et pour hauteurs les valeurs ak correspondantes. Supposant, ce qui est permis, les intervalles Xk deux à deux disjoints (c'est-à-dire sans points communs), nous appellerons alors, par définition, intégrale de f sur l'intervalle X le nombre :

où l(X) désigne, d'une manière générale, la longueur d'un intervalle X. Le nombre I( f ) ainsi obtenu dépend naturellement de la fonction f considérée, mais non du découpage de l'intervalle X en intervalles partiels Xk sur lesquels f est constante ; si, en effet, l'on découpe, d'une autre façon, X en intervalles deux à deux disjoints Y1, ..., Yq sur lesquels f prend les valeurs b1, ... bq, de sorte que nous devons prouver que :
il est clair que chaque Xk est réunion de ses intersections Xk ∩ Yh avec les divers Yh ; ces intersections sont des intervalles deux à deux disjoints ; on a donc :
d'où il résulte aussitôt que le premier membre de (2) est la somme de tous les nombres de la forme akl(Xk ∩ Yh), le second étant, de même, somme de tous les nombres bhl (Xk ∩ Yh). Il suffit donc de montrer que l'on a akl(Xk ∩ Yh) = bhl(Xk ∩ Yh) quels que soient k et h. Or la fonction f est égale, sur l'intersection Xk ∩ Yh, à la fois à ak et à bh ; si l'intersection n'est pas vide, on a donc ak = bh et le résultat s'ensuit ; si l'intersection est vide, on a l(Xk ∩ Yh) = 0, et le résultat cherché s'écrit 0 = 0 ; d'où la relation (2).

Nous utiliserons encore la relation (1) pour définir I( f ) lorsque la fonction f n'est plus positive.

Les intégrales des fonctions étagées possèdent des propriétés simples dont nous aurons besoin plus loin. Tout d'abord, si f et g sont deux fonctions étagées sur le même intervalle compact X, alors la fonction h = f + g donnée par h(x) = f (x) + g(x) pour tout x ∈ X est encore étagée, et l'on a la relation :

En effet, si l'on partage X en intervalles Xi deux à deux disjoints, sur lesquels f prend des valeurs constantes ai (1 ≤ i ≤ p), et en intervalles deux à deux disjoints Yj, sur lesquels g prend des valeurs constantes bj(1 ≤ j ≤ q), il est clair que X est réunion des pq intervalles Xi ∩ Yj, que f + g prend sur Xi ∩ Yj la valeur constante ai + bj (d'où le fait que f + g soit étagée), et enfin que I ( f + g) est la somme[...]

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Pour citer cet article

Roger GODEMENT. CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

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Fonction étagée - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction étagée

Encyclopædia Universalis France

Fonction réglée - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction réglée

Encyclopædia Universalis France

Intervalles - crédits : Encyclopædia Universalis France

Intervalles

Encyclopædia Universalis France

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Autres références

  • ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

    • Écrit par
    • 1 304 mots

    À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler...

  • ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)

    • Écrit par
    • 2 652 mots
    • 2 médias
    Archimède - Syracuse (Sicile) - crédits : AKG-images
    ...volumes par excès et défaut en remplaçant chaque couche par un cylindre circonscrit ou inscrit. Il utilisera, pour conclure, le raisonnement appelé, depuis le xviie siècle,« par exhaustion », et qui remonte à Eudoxe. Apparaissent ainsi nos « sommes de Riemann » et nos intégrales définies.

  • BARROW ISAAC (1630-1677)

    • Écrit par
    • 305 mots

    Mathématicien et théologien anglais qui fut un des précurseurs du calcul infinitésimal. Ordonné ministre anglican en 1668, Isaac Barrow enseigna le grec à l'université de Cambridge (1660-1663) et fut nommé, en 1662, professeur de mathématiques au collège Gresham de Londres. En 1664, il devient professeur...

  • BERNOULLI LES

    • Écrit par
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    • 1 média
    Jean Bernoulli - crédits : AKG-images
    – Systématisation du calcul infinitésimal. En 1687, Jacques écrit à Leibniz pour lui demander de lui préciser de nombreux points obscurs des premiers fondements du calcul infinitésimal parus dans les Acta eruditorum en 1684. Leibniz, absent de Hanovre, ne répondit qu'en 1690 et la tradition...
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