- 1. Notion de borne supérieure
- 2. Intégrale d'une fonction étagée
- 3. Intégration des fonctions réglées
- 4. Caractérisations des fonctions réglées
- 5. Intégration et dérivation
- 6. Détermination d'une fonction par sa dérivée
- 7. Théorème des accroissements finis
- 8. Théorème du maximum
- 9. Formule de Taylor
- 10. Bibliographie
CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable
Intégrale d'une fonction étagée
Considérons, sur un intervalle compact X = [a, b], une fonction f (x) à valeurs réelles ; nous la supposerons même, pour le moment, à valeurs positives. Si l'on trace le graphe de f, on obtient dans le plan une « courbe », l'ensemble des points (x, y) tels que l'on ait x ∈ X et y = f (x), qui délimite avec l'axe des abscisses et les verticales des points a et b une portion de plan dont on se propose de calculer la surface (dans l'hypothèse où la portion en question serait assez simple pour que l'on puisse attribuer une signification à ce calcul).
Les surfaces les plus simples à calculer sont celles des rectangles. On est ainsi amené à envisager d'abord un cas particulier, celui où l'on peut découper l'intervalle donné X en intervalles partiels X1, ..., Xp tels que la fonction f (x) prenne, dans chaque Xk, une valeur constante ak ; noter que nous n'excluons aucunement le cas où certains Xk se réduiraient à un point, et que nous n'imposons pas aux Xk d'être compacts − certains Xk peuvent contenir leurs extrémités, d'autres ne pas les contenir. Le graphe de la fonction f se compose alors de segments de droite horizontaux, et on dit que f est une fonction étagée. La portion de plan comprise entre le graphe et l'axe des x est alors réunion de p rectangles ayant pour bases les intervalles Xk, et pour hauteurs les valeurs ak correspondantes. Supposant, ce qui est permis, les intervalles Xk deux à deux disjoints (c'est-à-dire sans points communs), nous appellerons alors, par définition, intégrale de f sur l'intervalle X le nombre :
où l(X) désigne, d'une manière générale, la longueur d'un intervalle X. Le nombre I( f ) ainsi obtenu dépend naturellement de la fonction f considérée, mais non du découpage de l'intervalle X en intervalles partiels Xk sur lesquels f est constante ; si, en effet, l'on découpe, d'une autre façon, X en intervalles deux à deux disjoints Y1, ..., Yq sur lesquels f prend les valeurs b1, ... bq, de sorte que nous devons prouver que :il est clair que chaque Xk est réunion de ses intersections Xk ∩ Yh avec les divers Yh ; ces intersections sont des intervalles deux à deux disjoints ; on a donc :d'où il résulte aussitôt que le premier membre de (2) est la somme de tous les nombres de la forme akl(Xk ∩ Yh), le second étant, de même, somme de tous les nombres bhl (Xk ∩ Yh). Il suffit donc de montrer que l'on a akl(Xk ∩ Yh) = bhl(Xk ∩ Yh) quels que soient k et h. Or la fonction f est égale, sur l'intersection Xk ∩ Yh, à la fois à ak et à bh ; si l'intersection n'est pas vide, on a donc ak = bh et le résultat s'ensuit ; si l'intersection est vide, on a l(Xk ∩ Yh) = 0, et le résultat cherché s'écrit 0 = 0 ; d'où la relation (2).Nous utiliserons encore la relation (1) pour définir I( f ) lorsque la fonction f n'est plus positive.
Les intégrales des fonctions étagées possèdent des propriétés simples dont nous aurons besoin plus loin. Tout d'abord, si f et g sont deux fonctions étagées sur le même intervalle compact X, alors la fonction h = f + g donnée par h(x) = f (x) + g(x) pour tout x ∈ X est encore étagée, et l'on a la relation :
En effet, si l'on partage X en intervalles Xi deux à deux disjoints, sur lesquels f prend des valeurs constantes ai (1 ≤ i ≤ p), et en intervalles deux à deux disjoints Yj, sur lesquels g prend des valeurs constantes bj(1 ≤ j ≤ q), il est clair que X est réunion des pq intervalles Xi ∩ Yj, que f + g prend sur Xi ∩ Yj la valeur constante ai + bj (d'où le fait que f + g soit étagée), et enfin que I ( f + g) est la somme[...]
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Écrit par
- Roger GODEMENT : professeur à l'université de Paris-VII
Classification
Médias
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