ALGORITHMIQUE

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Algorithmes arithmétiques

La catégorie des algorithmes arithmétiques inclut les algorithmes des opérations fondamentales sur les entiers et les polynômes : dans le cas d'entiers de grande taille – de polynômes de degré élevé – des méthodes récursives ou fondées sur la transformation de Fourier discrète conduisent à des gains importants. Les algorithmes de factorisation et de test de primalité, liés à la théorie des nombres, ont permis de construire des systèmes de codage nouveaux (systèmes à clefs publiques).

Addition et multiplication classiques

À tout vecteur binaire a = (a0, a1, ..., an−1), où a∈ {0, 1}, se trouve associé l'entier :

également noté a et dont le vecteur constitue la représentation binaire de longueur (taille) n. Étant donné deux entiers a, b, donnés par leurs représentations de longueur n, un problème de base consiste à déterminer la somme et le produit :
sous forme de représentations binaires de longueur n + 1 et 2n respectivement. L'algorithme classique calcule les bits si de s par les relations :
ri représente la retenue entrante correspondant à la position i.

Le produit p correspond dans l'algorithme classique au développement :

L'évaluation de (4) correspond seulement à n additions d'entiers de longueur 2 n, puisque les multiplications par 2i s'obtiennent en représentation binaire par simple décalage.

La mesure naturelle de complexité de ces algorithmes est le nombre d'opérations booléennes élémentaires effectuées. Les complexités respectives de l'addition et de la multiplication selon ces méthodes sont aussi respectivement :

Méthodes récursives

Soit à évaluer le produit de deux nombres x et y de longueur n = 2m donnés sous la forme :

Le produit xy vaut :
et, sous cette forme, le calcul nécessite quatre multiplications de nombres de taille m. On peut se ramener au calcul de trois produits seulement :
en observant la relation :

L'utilisation répétée (pour le calcul des produits P1, P2, P3) de cette décomposition, qui ramène une multiplication d'entiers de taille 2m à trois multiplications en longueur m, conduit [...]


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Algorithmes de calcul de p

Algorithmes de calcul de p
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Arbre binaire

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Échelle de complexité

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Pour citer l’article

Philippe COLLARD, Philippe FLAJOLET, « ALGORITHMIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 mars 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/algorithmique/