AXIOMATIQUE

Articles

• AXIOMATIQUE

  • Écrit par Georges GLAESER
  • 2 036 mots

  La méthode axiomatique est un mode d'exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l'article logique...

• BOURBAKI NICOLAS (XX^e s.)

  • Écrit par André MARTINEAU
  • 1 740 mots
  • 1 média
  ...théorie des ensembles dont le langage est familier à tout jeune lycéen. Il introduit la notion de structure qui est le cœur de sa rigoureuse construction axiomatique. Les structures sont classées par degré de complexité. Et, de même que la chimie distingue les éléments simples à partir desquels tout peut...

• CONTINU & DISCRET

  • Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
  • 7 672 mots
  ...conflit entre le continu et le discret concerne donc l'activité logico-mathématique fondationnelle au niveau de sa méthode elle-même. L'option axiomatique ou formaliste, qui s'est montrée de plus en plus dominante au cours de ce siècle, semble réduire les mathématiques et la logique à un jeu linguistique...

• DÉFINITION

  • Écrit par Françoise ARMENGAUD
  • 503 mots

  Traditionnellement, définir, c'est expliciter, lorsqu'il s'agit d'un mot, et, lorsqu'il s'agit d'un être, c'est lui assigner un statut ; on définit par genre prochain et différence spécifique : « La rose est une fleur d'églantier dont les étamines sont devenues pétales. »...

• ÉPISTÉMOLOGIE

  • Écrit par Gilles Gaston GRANGER
  • 13 112 mots
  • 4 médias
  ...Frege et Russell, de la ramener à cette pensée formelle minimale que serait la logique ; celui que suppose l'entreprise hilbertienne de formalisation axiomatique, selon laquelle une théorie est fondée si on a pu la ramener à un système d'axiomes et à un corps de règles primitives dont on aurait montré,...

• ERREUR

  • Écrit par Bertrand SAINT-SERNIN
  • 4 874 mots
  • 2 médias
  L'idée de présenter les théories d'une manière axiomatique date des Grecs, et les Éléments d'Euclide ont constitué à cet égard un modèle pendant plus de deux millénaires. En fait, on s'est aperçu, au cours des siècles, que les figures jouaient un rôle équivoque dans certaines démonstrations,...

• EUCLIDE (IV^e-III^e s. av. J.-C.)

  • Écrit par Jean ITARD
  • 1 515 mots
  • 1 média
  ...babylonienne adaptée à leur géométrie, devaient ou admettre le postulat, ou abandonner toute recherche scientifique dans ce domaine. Ne pas tenter de le démontrer, ni de le considérer comme évident est le fait d'un mathématicien très profond ; ainsi apparaît pour la première fois la méthode axiomatique.

• FORMALISME

  • Écrit par Étienne BALIBAR et Pierre MACHEREY
  • 5 001 mots
  • 1 média

  Au sens moderne la formalisation est la présentation des théories scientifiques – et, en premier lieu sinon exclusivement, des mathématiques – dans le cadre d'un système formel, permettant de caractériser sans ambiguïté les expressions du langage et les règles de démonstration recevables....

• GÖDEL : THÉORÈMES D'INCOMPLÉTUDE

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 174 mots

  Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel (1906-1978) prouve que, dans tout système mathématiqueaxiomatique, il existe des propositions dont on ne peut démontrer ni la véracité ni la fausseté. En particulier,...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN , Jean-Michel KANTOR et Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 1 média
  ...mathématique jusqu'à ce que M. Pasch, en 1882, y reconnut des hypothèses utilisées tacitement (en particulier la relation « être entre deux points »). Hilbert, dans son livre Grundlagen der Geometrie(1899), donna la première construction axiomatique complète de la géométrie sans contradiction avec l'analyse....

• JUGEMENT

  • Écrit par Noël MOULOUD
  • 6 869 mots
  ...propositions sont situées à l'intérieur des systèmes d'expressions comme les mailles d'un réseau dont les recoupements et les interconnexions se renouvellent. Ainsi les systèmes axiomatisés exigent bien la compatibilité des expressions primitives prises comme « axiomes », mais nullement la vérité indépendante...

• MÉTHODE

  • Écrit par Jean LARGEAULT
  • 9 066 mots
  ...ainsi les mathématiciens du xix^e siècle ont-ils mis de l'ordre dans les découvertes effectuées par ceux du siècle précédent. La « méthode axiomatique », ou plus modestement l'axiomatisation, consiste à chercher un petit nombre de propositions d'où il soit possible de déduire la ...

• MODALITÉS, logique

  • Écrit par Pascal ENGEL
  • 7 573 mots
  • 1 média
  ...renouveau de la logique modale au xx^e siècle vint de l'application à l'étude des notions de nécessité et de possibilité des méthodes axiomatiques de la nouvelle logique. Ce qui distingue essentiellement la logique modale contemporaine de la syllogistique modale est le traitement syntaxique...

• PEANO GIUSEPPE (1858-1932)

  • Écrit par Georges GLAESER
  • 1 828 mots
  • 1 média
  La formalisation conduit naturellement Peano à exposer la mathématique sous forme axiomatique. On trouvera à l'article axiomatique la description des principales contributions de Peano dans ce domaine. Indépendamment de R. Dedekind, il formule les axiomes de Peano relatifs aux nombres entiers...

• PHILOSOPHIQUES SYSTÈMES

  • Écrit par Jacques MOUTAUX
  • 6 747 mots
  Dans sa forme de système, comme dans sa teneur ontologique, la philosophie est solidaire de la mise en usage des axiomatiques, c'est-à-dire d'une révolution dans l'usage du langage par la création de méthodes permettant les démonstrations déductives à partir d'hypothèses, révolution qui pose ses propres...

• RELATION

  • Écrit par Jean LADRIÈRE
  • 7 566 mots
  La méthode axiomatique permet d'aborder le problème de la nature de la relation par un tout autre biais. Elle consiste à donner une caractérisation implicite de la notion en énonçant certaines propositions dans lesquelles elle figure ; le contenu de la notion est alors déterminé par les possibilités...

• SCIENCES - Sciences et discours rationnel

  • Écrit par Jean LADRIÈRE
  • 6 634 mots
  ...préalablement acceptée. La notion de démonstration soulève dès lors la question de la validité des règles et des axiomes. Dans la conception ancienne de l' axiomatique, on résolvait cette question en faisant appel à l'évidence intuitive ; il suffisait, pensait-on, de mettre en jeu des règles suffisamment simples...