Nicolas Bourbaki est un pseudonyme désignant un groupe de mathématiciens français qui, depuis 1940, a entrepris de publier un traité intitulé Éléments de mathématique. De ces éléments ont été déjà publiées plus de trente monographies représentant un volume d'environ cinq mille pages. En plus de ce traité, Nicolas Bourbaki a aussi publié quelques articles et un livre d'histoire des mathématiques.
Les Éléments de mathématique sont censés prendre la mathématique à son début, du moins sur le plan logique. Ils sont donc, en principe, accessibles à un lecteur n'ayant aucune connaissance mathématique particulière. Le mode d'exposition est axiomatique et systématique, ce qui fait que l'ouvrage doit servir aux fondements effectifs de la mathématique et qu'il veut, en particulier, devenir un ouvrage fondamental de référence pour tous les mathématiciens. Ce titre montre que l'ambition de Bourbaki est d'être l'Euclide des temps modernes.
Sa synthèse ne peut cependant pas répondre à toutes les questions que posent l'existence et le développement de la mathématique. Aussi s'est-il attaché à fournir, en outre, sa vision de l'histoire des mathématiques, ajoutant des notices historiques à la plupart de ses ouvrages. Entrouvrant au bout de ses livres la porte de l'histoire, il a sans doute tenté, en même temps, d'échapper à l'accusation de dogmatisme, qu'on n'a pas manqué de porter contre lui et qui était inévitable dans une entreprise de cette nature.
1. Construction logique et ensembliste
Nicolas Bourbaki prend comme point de départ pour sa construction la logique formelle et la théorie des ensembles dont le langage est familier à tout jeune lycéen. Il introduit la notion de structure qui est le cœur de sa rigoureuse construction axiomatique. Les structures sont classées par degré de complexité. Et, de même que la chimie distingue les éléments simples à partir desquels tout peut être reconstruit, de même Bourbaki décrit les structures les plus complexes, et particulières, à partir de cert […]
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