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DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

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5.  Équations diophantiennes exponentielles

On appelle ainsi les équations du type :

où f est un polynôme en n variables à coefficients entiers, à résoudre en entiers positifs (x1, ..., xn, m1, ..., mn).

Comme équations classiques de ce type, résolubles par des factorisations en nombres entiers, citons :

en (x, y, n), qui n'a pas de solution avec n > 1 et y > 1 (V. A. Lebesgues, 1850), et :
qui n'a pas de solution avec n > 1 et y > 3 (Chao Ko, 1964).

Pour établir une conjecture de Ramanujan l'équation :

n'a pour solutions que n = 3, 4, 5, 7, 15, Nagell (1960) eut recours à la théorie algébrique des nombres (calculs dans le corps Q (√− 7).

Les résultats d'A. Baker sur les formes linéaires de logarithmes ont permis de réaliser d'importants progrès (cf. nombres transcendants). Il s'agit en fait de méthodes d'approximation.

Ainsi, pour f (x) un polynôme à coefficients entiers avec au moins deux zéros, on sait (A. Schinzel, R. Tijdeman, 1976) qu'il n'y a qu'un nombre fini d'entiers m pour lesquels l'équation :

a  […]

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Équation de Pythagore

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