3. Méthodes géométriques
Pour classer les types d'équations, on utilise d'abord la dimension, ou nombre de variables indépendantes, du système proposé. Ainsi, en général, un système :
est de dimension (
n −
r). En dimension 1, on parle de courbes ; en dimension 2, de surfaces. Les solutions en nombres entiers ou rationnels du système proposé ne sont autres que les points entiers ou rationnels de la variété algébrique associée.
Déjà pour les courbes planes (une équation f (x, y) = 0), la classification par le degré s'avère trop grossière. Ainsi la théorie des cubiques planes à point double, comme :
avec
a rationnel, est très simple, celle des cubiques planes sans point double, comme :
avec
a et
b rationnels non nuls et distincts, est beaucoup plus délicate. On est ainsi amené à utiliser des « invariants » de nature géométrique. Pour les courbes, on utilise le genre, nombre de trous de la surface de Riemann correspondante. Pour une courbe plane de degré
d, à points multiples ordinaires, le genre vaut :
où la sommation s'étend à tous les points multiples, l'ordre de ceux-ci étant
si.
• Courbes de genre zéro
On dispose ici d'une analyse complète. En ce qui concerne les points rationnels, la démarche est la suivante. Toute courbe de genre zéro peut, […]
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