L'étude d'une fonction à valeurs réelles comporte en particulier la détermination de ses extrémums. C'est là un des objets du calcul différentiel classique lorsque la source de cette fonction est un espace numérique ; c'est l'objet de ce qu'Euler a appelé le calcul des variations lorsque cette source est un espace fonctionnel.
On rencontre déjà dans la plus haute antiquité des problèmes d'une telle nature. La légende ne veut-elle pas que Didon, lorsqu'elle fonda Carthage, ait délimité la plus grande étendue qu'elle pût circonscrire à l'aide de lanières découpées dans la peau d'un taureau ? Et il est bien connu que les Grecs caractérisaient un segment de droite comme la ligne de plus petite longueur joignant ses extrémités.
Ce n'est cependant qu'au xviiie siècle, à la suite de l'essor du calcul infinitésimal, qu'Euler et Lagrange établirent les fondements du calcul des variations et donnèrent une première condition d'extrémum. Cette équation d'Euler-Lagrange allait jouer un rôle très important, surtout en physique, où elle justifiait les principes variationnels : principe de Fermat pour la propagation de la lumière dans les milieu […]
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E.U.
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CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
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e siècle, Euler sentit la nécessité d'introduire dans ce domaine des méthodes plus générales. *Après avoir repris l'étude du célèbre problème des isopérimètres, il exposa, en 1744, la première méthode générale pour résoudre les problèmes d'extrémums, créant ainsi une discipline nouvelle qu'il dénommera, en 1766, calcul des variations. Mais,…
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ÉCONOMÉTRIE
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Jean-Pierre FLORENS
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EULER LEONHARD (1707-1783)
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Christian HOUZEL, Jean ITARD
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Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudens, fonde le calcul des *variations, dans la lignée des travaux de Jacques et Jean Bernoulli (l'ouvrage aura sur Lagrange une influence considérable). Un important appendice sur la détermination, par ce type de calcul, du mouvement d'un projectile dans un milieu résistant…
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HILBERT DAVID (1862-1943)
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pas usage du principe de Dirichlet. En 1899, Hilbert reprit le problème dans le cadre du calcul des *variations ; dès 1900, il inaugure une démarche toute nouvelle, appelée, depuis, la « méthode directe », pour obtenir une démonstration rigoureuse du principe de Dirichlet moyennant certaines restrictions sur la nature de la frontière du domaine et…
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Bibliographie
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