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DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

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Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connues, très vite ce point de vue s'affirma trop étroit ; c'est qu'en effet le problème fondamental de la théorie des équations différentielles est de déduire les propriétés des solutions d'une équation ou d'un système donné de la forme analytique de ceux-ci ; or, en général, les équations qui résultent d'une investigation théorique en mathématiques ou en physique ne sont pas explicitement intégrables et constituent, bien souvent, la principale source pour la définition de nouvelles fonctions dont les propriétés peuvent être prévues par une analyse systématique de grandes classes d'équations ou de systèmes.

On développera, dans les quelques rubriques qui suivent, les méthodes propres à mettre en évidence l'existence de solutions sous des conditions appropriées et à en étudier les propriétés les plus fondamentales.

1.  Les systèmes différentiels linéaires dans le champ réel

On se propose d'étudier l'existence et les propriétés des solutions du système différentiel linéaire :

pour i, j = 1, 2, ..., n, où les fonctions aij(t), bi(t ) de la variable réelle t sont à valeurs réelles ou complexes. Introduisant la matrice n × n, c'est-à-dire à n lignes et à n colonnes, A(t ) = (aij(t )), et les vecteurs x = (x1, x2, ..., xn), b = (b1, b2, ..., bn), on peut écrire au lieu de (1) :

On notera que toute équation différentielle linéaire d'ordre n :

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Autres références

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ANALYSE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Équations différentielles et équations aux dérivées partielles"  : …  Les équations *différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des… Lire la suite
ASYMPTOTIQUES CALCULS

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Cas des solutions d'équations le champ réel et le champ complexe."  : …  *Plaçons-nous d'abord dans le cas d'un système linéaire à coefficients constants : où A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes et x : t ↦ x (t) une fonction de classe C1 sur [0, + ∞ [ à valeurs dans Cn. Pour toute condition initiale a… Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

Écrit par :  René TATON

Dans le chapitre "Équations différentielles"  : …  On *sait que plusieurs savants de la première moitié du xviie siècle avaient rencontré certains problèmes relatifs à des équations différentielles, problèmes auxquels ils n'avaient su donner qu'une présentation et qu'une solution imparfaites. Dès la mise au point de leurs méthodes de calcul infinitésimal, Newton et Leibniz… Lire la suite
CARTWRIGHT MARY LUCY (1900-1998)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicienne britannique spécialiste de l'analyse complexe et des équations différentielles. Née le 17 décembre 1900 à Aynho dans le Northamptonshire (Royaume-Uni), Mary Lucy Cartwright est la fille d'un pasteur de l'Église anglicane. Admise en octobre 1919 au collège Saint Hugh de l'université d'Oxford pour y étudier les mathématiques, elle en… Lire la suite
CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Équations différentielles"  : …  Mais,* dans ce rôle de législateur de l'analyse, la plus profonde contribution de Cauchy se situe sans conteste dans le domaine des équations différentielles, où il est le premier à donner des démonstrations générales d'existence et d'unicité des solutions (ses prédécesseurs ne se posaient même pas ces questions). En fait, les trois méthodes… Lire la suite
CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien français. Né à Paris, Clairaut (ou Clairault) fit, sous la conduite de son père qui était professeur de mathématiques, de tels progrès en cette science qu'à l'âge de douze ans il lisait devant l'Académie une note sur les propriétés de quatre courbes qu'il avait découvertes. Ses Recherches sur les courbes à double courbure (… Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

Écrit par :  Claude BARDOS

Dans le chapitre "Les équations de réaction-diffusion"  : …  , t) = u(x − ct). Reportant dans l'équation (3), on obtient l'*équation différentielle ordinaire : qui s'écrit comme un système en introduisant la variable v = u′ : Un front, ou onde solitaire, est alors une solution de (5) qui vérifie les relations : On supposera désormais que la fonction F(u… Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

Écrit par :  Martin ZERNER

…  leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions des *équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, celles des équations et systèmes d'équations aux dérivées partielles dépendent de fonctions arbitraires ; il y a donc des familles beaucoup plus riches de… Lire la suite
ÉQUATION, mathématique

Écrit par :  Gilles LACHAUD

Dans le chapitre "Équations différentielles"  : …  *Les équations différentielles sont des équations dont les coefficients et les variables sont eux-mêmes des fonctions, et dont les termes contiennent les dérivées de cette fonction ainsi que la fonction elle-même. Les équations différentielles ordinaires impliquent une fonction y d'une seule variable x et ses… Lire la suite
FORME

Écrit par :  Jean PETITOT

Dans le chapitre "Perturbations singulières"  : …  De nombreux travaux ont également été effectués sur les équations *différentielles contraintes, c'est-à-dire sur les systèmes dynamiques pour lesquels il existe deux échelles de temps, une dynamique « rapide » amenant le point représentatif de l'espace de phase M × W sur une variété « lente » Σ ⊂ M × W (surface des états) et une dynamique « lente »… Lire la suite
HALPHEN GEORGES-HENRI (1844-1889)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *Mathématicien brillant, travailleur acharné, doué d'un profond talent d'algébriste, Georges-Henri Halphen a attaché son nom surtout à des résultats de géométrie analytique. Né à Rouen le 30 octobre 1844, il fut élevé à Paris, reçut sa première formation au lycée Saint-Louis, entra à l'École polytechnique en 1862 et sortit en 1866 comme lieutenant d… Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par :  Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "Problème 21 : monodromie des équations différentielles de Fuchs"  : …  On considère une *équation différentielle linéaire d'ordre n dans un ouvert U du plan projectif complexe P1 : c'est Fuchs qui, le premier, mit en lumière un type particulier parmi ces équations, caractérisées par des propriétés soit analytiques, soit algébriques. Ces équations, dites à point singulier régulier au… Lire la suite
INTÉGRALES ÉQUATIONS

Écrit par :  Michel HERVÉ,  Universalis

Dans le chapitre "Problème de Sturm-Liouville"  : …   différentielles, chap. 3) concerne les valeurs du paramètre réel λ pour lesquelles l'*équation différentielle linéaire homogène : (où L est un opérateur différentiel d'ordre n à coefficients continus sur un intervalle compact [a, b] de R et r une fonction continue strictement positive sur… Lire la suite
LAGRANGE JOSEPH LOUIS (1736-1813)

Écrit par :  Jean ITARD,  Universalis

Dans le chapitre "L'œuvre de Lagrange"  : …  de 1816. La mécanique de Lagrange, qui ramène l'étude de tout problème à la résolution d'équations *différentielles, est aussi importante dans l'histoire du déterminisme scientifique que les travaux de mécanique céleste de Newton. Elle sera le point de départ de toutes les recherches ultérieures, tels les travaux d'Hamilton, qui la qualifiera avec… Lire la suite
LIAPOUNOV ALEXANDRE MIKHAÏLOVITCH (1857-1918)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien et physicien russe, membre de l'Académie des sciences. Après des études à l'université de Saint-Pétersbourg, il est assistant puis professeur à l'université de Kharkov. En 1902, il est nommé professeur à l'université de Saint-Pétersbourg. Élève de P. L. Tchebychev, c'est le représentant le plus remarquable de l'école mathématique… Lire la suite
LITTLEWOOD JOHN EDENSOR (1885-1977)

Écrit par :  Bernard PIRE

… séries de Lambert (1936), sur les valeurs moyennes des fonctions analytiques ou harmoniques (1941). *Avec Mary Cartwright (1900-1998), Littlewood répond en 1938 à une demande émanant d'un organisme gouvernemental, concernant des équations différentielles non linéaires modélisant les ondes radio et radar ou décrivant le comportement des circuits… Lire la suite
MÉCANIQUE CÉLESTE

Écrit par :  Bruno MORANDO

Dans le chapitre "Le problème des n corps"  : …  varie de 1 à n sans prendre la valeur i. Il y aura donc 3n équations *différentielles du second ordre à intégrer pour connaître le mouvement des n corps. Seules dix intégrales premières du mouvement sont connues, et Henri Poincaré a montré qu'il n'existait pas d'autres intégrales premières uniformes du… Lire la suite
ORTHOGONAUX POLYNÔMES

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT

Dans le chapitre "Équations différentielles des polynômes orthogonaux"  : …  s'annulant pas sur l'intérieur de I et admettant un zéro simple aux points α et β. On considère l'*équation différentielle : où λ est un nombre complexe. De telles équations interviennent, par exemple, dans les problèmes de Sturm-Liouville. Les solutions de (1) sont les fonctions propres de l'endomorphisme U : f ↦ af″… Lire la suite
PAINLEVÉ PAUL (1863-1933)

Écrit par :  Armel MARIN, Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien et homme politique français né à Paris, Paul Painlevé est aussi un théoricien de l'aviation dont il soutint le développement par son action politique. Ancien élève de l'École normale supérieure, il enseigna aux universités de Lille et de Paris et à l'École polytechnique. Il fut nommé membre de l'Académie des sciences en 1900. S'… Lire la suite
POINCARÉ HENRI (1854-1912)

Écrit par :  Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY

Dans le chapitre "L'œuvre scientifique"  : …  les fonctions algébroïdes. Il reprit ensuite le problème d'un autre point de vue, considérant des *équations différentielles à coefficients réels – et, dans un premier temps, du premier degré – et étudiant, par une approche qualitative, la forme générale des courbes réelles représentant les différentes solutions de l'équation différentielle, avant… Lire la suite
SMALE STEPHEN (1930- )

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Mathématicien américain né le 15 juillet 1930 à Flint (Michigan). Après des études à l'université du Michigan (où il passa son doctorat en 1956), Stephen Smale enseigna à l'université Columbia (1961-1964), puis à Berkeley à partir de 1964. En 1966, il reçut le prix Veblen de l'American Mathematical Society et la médaille Fields au congrès de Moscou… Lire la suite
STURM CHARLES FRANÇOIS (1803-1855)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Après avoir été étudiant à l'université de Genève (sa ville natale), Sturm se rend, pour être précepteur dans la famille Broglie, à Paris, où il fréquente les plus grands savants de l'époque et où il se fixe définitivement à partir de 1825. Avec son ami Colladon, il détermine en 1826 la vitesse de propagation du son dans l'eau, ce qui lui vaut, l'… Lire la suite
SYMBOLIQUE CALCUL

Écrit par :  Robert PALLU DE LA BARRIÈRE

Dans le chapitre "Applications de la transformation de Laplace"  : …  de Laplace est la résolution des équations de convolution, et en particulier des *équations différentielles linéaires à coefficients constants. Soit l'équation de convolution a * x = b, où a, b et x sont des fonctions à support positif. Si a,… Lire la suite
SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES

Écrit par :  Alain CHENCINER

Dans le chapitre "Le pendule sans frottement, un système hamiltonien"  : …   x comme une variable réelle. L'équation (N1) s'écrit encore comme *équation différentielle autonome du premier ordre dans R2 : et s'interprète comme un champ de vecteurs X dans R2 (indépendant du temps) périodique en x (de période 2 π), c'est-à-dire un… Lire la suite
WEYL HERMANN (1885-1955)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Problèmes aux limites singuliers"  : …  La thèse de Weyl (1910) est consacrée à l'étude du* problème de Sturm-Liouville sur R+. Si L est un opérateur linéaire du second ordre auto-adjoint : la théorie de Hilbert-Schmidt (cf. équations différentielles, chap. 3) montre que, pour tout intervalle compact [0, l], il existe une suite discrète de valeurs… Lire la suite
WHITTAKER sir EDMUND (1873-1956)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien anglais dont les travaux portent principalement sur les équations différentielles et aux dérivées partielles et sur leurs applications à la physique mathématique et à l'astronomie. De 1906 à 1912, Whittaker fut Royal Astronomer of Ireland à Dublin. Il fut nommé alors professeur à l'université d'Édimbourg, où il restera jusqu'à sa… Lire la suite

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