4. Conditions de Legendre et Jacobi
Soit f un minimum relatif faible de J dans D. Utilisant à nouveau la formule de Taylor, on peut écrire, toujours à des termes d'ordres supérieurs près, la variation de J correspondant à une variation ω de f sous la forme :
où l'on a posé :
La fonctionnelle :
est une forme quadratique sur l'espace
E que l'on peut interpréter comme la dérivée seconde δ
2J[
f ] de J en
f : on dira que δ
2J[
f ] est la « variation seconde » de J en
f. On a ainsi le résultat suivant : Une condition nécessaire pour que
f soit un minimum relatif faible de J est que δ
2J[
f ] soit une forme quadratique positive, c'est-à-dire telle que δ
2J[
f ] (ω) ≥ 0 pour tout ω ∈
E.
On va, suivant Legendre, transformer l'expression de cette variation seconde en remarquant que, si w est une fonction continûment dérivable sur [a, b], on a :
pour toute fonction ω ∈
E. On peut donc écrire :
soit encore :
si le discriminant (Q +
w)
2 − R(P +
w′) est nul. Cette égalité nous conduit à une seconde condition, énoncée par Lege […]
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