5. Théorie de Morse
Dans son aspect classique, la théorie de Morse ne fait pas partie du calcul des variations. Elle concerne en fait l'étude des fonctions différentiables sur les variétés et permet, en particulier, de donner des décompositions des variétés jouant en topologie différentielle le rôle que jouent les décompositions simpliciales en topologie combinatoire (cf. topologie - Topologie algébrique, chap. 2). C'est en utilisant cette technique que S. Smale démontra, en 1962, la conjecture de Poincaré en dimensions supérieures à 5.
Si f est une fonction différentiable à valeurs réelles sur une variété M, on dit qu'un point z de M est un point critique de f s'il annule sa différentielle df, ce qui s'exprime, dans un système de coordonnées locales x1, ..., xn tel que xi(z) = 0, par les conditions :
Ce point critique est non dégénéré si le hessien H(f ) de f en z, c'est-à-dire la forme quadratique définie par la matrice :
est de rang maximum. L'index de z est alors le nombre de valeurs propres négatives du hessien.
Le lemme de Morse assure que, si z est un point critique non dégénéré d'index p, il existe un système de coordonnées locales y1, ..., yn avec yi(z) = 0 tel que l'on ait :
ce qui montre en particulier que les points critiques non dégénérés sont isolés. On peut déduire de cette expression que, si a et b ne sont pas des valeurs critiques de f, et si l'intervalle ]a
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