3. Équation d'Euler-Lagrange
Si l'on suppose que f est un minimum relatif faible de J deux fois continûment dérivable, on peut transformer l'expression de δJ[f ] en intégrant par partie le second terme. On obtient ainsi :
Ce qui conduit à l'équation donnée par Euler en 1744 :
Théorème 1. Une condition nécessaire pour qu'une fonction f deux fois continûment dérivable soit un minimum relatif faible de J est qu'elle vérifie l'équation :
Ce résultat est une conséquence immédiate du lemme suivant :
Lemme 1. Soit h une fonction continue sur [a, b]. Si l'on a :
Démonstration du lemme 1. Supposons que la fonction h soit, par exemple, positive en un point x0 de ]a, b[. On peut alors trouver un intervalle [c, d] contenant x0 sur lequel h est positive.
Si l'on désigne par ε la fonction égale à (x − c)2 (d − x)2 sur [c, d] et nulle en dehors de [c, d], on a dans ces conditions :
L'équatio […]
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