2. Présentation analytique d'un problème variationnel
À la lumière des exemples qui viennent d'être présentés, on peut donner la formulation suivante d'un problème variationnel simple de dimension 1 à extrémités fixes.
Soit D l'espace affine des fonctions f à valeurs réelles continûment dérivables sur l'intervalle [a, b] et vérifiant f (a) = α et f (b) = β. L'espace vectoriel E associé à cet espace affine peut s'interpréter comme l'espace des fonctions ω continûment dérivables sur [a, b] et vérifiant ω(a) = ω(b) = 0.
On munit l'espace D des deux topologies C0 et C1 définies respectivement par les normes de la convergence uniforme :
La topologie C1 est plus fine que la topologie C0.
Soit F(x, y, y′) une fonction à valeurs réelles deux fois continûment différentiable sur l'espace [a, b] × R × R. On peut lui associer la fonctionnelle J sur D déterminée par :
On dit alors qu'une fonction f de D est une solution du problème variationnel correspondant à la fonction F si elle est un minimum de J sur D, c'est-à-dire si l'on a J(f ) ≤ J(g) pour tout g ∈ D. On dit également que f est un minimum relatif faible (resp. fort) de J s'il existe ε > 0 tel que l'on ait J(f ) ≤ J(g) pour tout g ∈ D vérifiant ∥f − g∥1 ≤ ε (resp. ∥f − g∥ ≤ ε).
Naturellement un minimum au sens fort est également un minimum au […]
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