VÉRITÉ, mathématique
Formalisme
Pour un formaliste – dont David Hilbert (1862-1943) est considéré, un peu rapidement, comme le type –, l'existence des objets mathématiques dans un monde qui leur serait propre, ainsi que leur nature, sont des questions à contourner : il faut, dans un premier temps, les négliger. À l'opposé du réaliste, le formaliste propose de considérer que seul compte ce que l'on démontre. Pour lui, ce qu'affirme un énoncé mathématique de manière certaine, c'est l'existence de la démonstration qui y conduit. Pour le formaliste, la vérité c'est la démonstration. Ce sens syntaxique n'exclut pas nécessairement qu'il puisse y en avoir d'autres, mais ils viendront en complément et facultativement, l'essentiel ayant été donné par les démonstrations formelles. L'avantage d'une telle attitude est qu'elle dispense de toute interrogation sur la nature et le sens d'une affirmation. Ce qui importe pour le mathématicien formaliste n'est pas ce qu'exprime un énoncé A concernant le monde mathématique – monde jugé quelque peu mystérieux et difficile à cerner –, ce qui compte est notre capacité de trouver l'assemblage de symboles qui, respectant des règles précises et formulées à l'avance, constitue ce qu'entre mathématiciens, il a été convenu d'appeler une démonstration de A.
Notons que les puissants formalismes élaborés au début du xxe siècle ont rendu possible cette attitude, qui auparavant n'aurait pas eu de sens : c'est donc un progrès technique en logique qui a ouvert la porte à cette nouvelle conception philosophique de la vérité mathématique.
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Écrit par
- Jean-Paul DELAHAYE : professeur à l'université des sciences et technologies de Lille
Classification
Pour citer cet article
Jean-Paul DELAHAYE. VÉRITÉ, mathématique [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA
- Écrit par Jean-Yves GIRARD
- 6 140 mots
- 1 média
...et A un énoncé arbitraire à une variable libre x ; soit enfin ThmT (⌈A⌉) l'énoncé de AP qui exprime que A est démontrable dans T. On a :Pour la démonstration, on se ramène au cas où T est le calcul des prédicats ; il s'agit de montrer, par induction sur une démonstration, que tout énoncé...
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HILBERT DAVID (1862-1943)
- Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
- 14 726 mots
- 1 média
...correspondance, d'une grande importance scientifique, entre Frege et Hilbert, montre qu'ici s'opposent diamétralement deux positions scientifiques fondamentales. Tandis que Frege fonde une théorie sur ses objets et ne voit dans les axiomes que des théorèmes distingués (dont la vérité dépend avant tout de la référence... -
INFORMATIQUE ET VÉRITÉ MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
- 1 988 mots
« Tel nombre est premier », « tels graphes sont isomorphes », « telle classification est complète », etc. Traditionnellement, en mathématiques, la certitude concernant de telles affirmations formelles ne peut résulter que d'une démonstration. La pratique, cependant, semble remettre en question certaines...
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INTUITIONNISME
- Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
- 1 647 mots
Compte tenu de cette accessibilité, l'idée d'une vérité mathématique inconnue est absurde : comme l'écrit en 1948 le Néerlandais Luitzen Egbertus Brouwer (1881-1966), créateur et promoteur de la doctrine, « il n'y a pas de vérité sans expérience de la vérité ».
Voir aussi
