ERGODIQUE THÉORIE

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Théorie ergodique, probabilités et potentiels

Les problèmes de convergence qui sont abordés au chapitre 2 concernent l'opérateur T : ↦ Tf = ∘ θ agissant dans L1(m) ou L2(m). Cet opérateur possède les propriétés qui suivent :

a) T est linéaire ;

b) T est positif : ≥ 0 ⇒ T≥ 0 ;

c) T est une contraction, c'est-à-dire : ∥Tf≤ ∥f1 pour tout ∈ L1(m).

On peut aussi considérer de façon plus générale des endomorphismes de l'espace (réel) L1(m) possédant les propriétés précédentes et non nécessairement induits par des transformations ponctuelles θ. De tels opérateurs se présentent naturellement dans la théorie des processus markoviens. Ils sont définis à partir d'un noyau N : Ω × B → + (B désignant la tribu des ensembles mesurables de Ω) où l'on suppose que l'application partielle ω ↦ N (ω, A) est mesurable pour A constant et que l'application A ↦ N(ω, A), ω étant fixé, est une probabilité (ou une sous-probabilité) sur B. À tout ∈ L1 on associe la mesure réelle μ f sur (Ω, B) par la formule :

Si l'on suppose que μf est absolument continue par rapport à m, et cela quel que soit f, la densité Tf = dμdm est la transformée de f par T. La vérification des propriétés a, b et c est immédiate.

Le théorème ergodique général, établi en 1960 par Chacon et Ornstein, pour une contraction positive T affirme que : Quelles que soient les fonctions intégrables f et g, g ≥ 0, l'expression :

tend presque partout vers une limite finie sur l'ensemble :

Chacon a, de plus, explicité cette limite. Cet important théorème, faisant suite à des travaux de Doob et de E. Hopf, a été aussi prouvé par J. Neveu par des méthodes probabilistes.

Le lien avec la théorie du potentiel découle de recherches faites par A. Brunel, par P. A. Meyer et par Ackoglu qui ont utilisé le lemme suivant, appelé lemme ergodique maximal.

Soit ∈ L1 (réel) et A ∈ B tel que :

alors :
en désignant par eA le potentiel d'équilibre de A, relativement au noyau transposé tT de T.

L'opérateur tT qui agit dans L∞ se définit par dualité : Quels que soient ∈ L1 et ∈ L∞,

la fonction eA est, en gros, la plus petite fonction tT − so [...]


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Pour citer l’article

Antoine BRUNEL, « ERGODIQUE THÉORIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-ergodique/