ERGODIQUE THÉORIE

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Propriétés de mélange

Revenons au modèle de Poincaré et supposons que le liquide enfermé dans le récipient Ω soit, suivant une image de Halmos, un mélange de vermouth et de gin dans les proportions de 9/10 de gin et 1/10 de vermouth. Le récipient Ω est un shaker que l'on agite pour confectionner un cocktail. Chaque mouvement d'agitation du shaker s'effectue aux instants 1, 2, ..., n, ... Si B est la partie de Ω occupée initialement par le vermouth, alors, pour toute autre partie mesurable A du shaker, le rapport entre la quantité de vermouth contenue dans A et la quantité totale de vermouth est, à l'instant n,

ou encore, en désignant par 1A la fonction caractéristique de l'ensemble A,

La moyenne arithmétique de ces rapports pris aux instants 0, 1, ..., n − 1 est donc :

On suppose toujours m(Ω) = 1. Si θ est ergodique, la suite (4) converge vers m(A). Autrement dit, en moyenne, la suite :

converge vers m(A). Cela est, bien entendu, réalisé a fortiori si :
condition qui exprime qu'après un temps assez long toute partie telle que A contient la même proportion de gin et de vermouth qui se trouvent ainsi parfaitement mélangés.

On pose alors les définitions suivantes :

– La transformation θ est dite fortement mélangeante si, pour tout couple de parties mesurables A et B de Ω, on a :

– La transformation θ est dite faiblement mélangeante si, pour tout couple de parties mesurables A et B de Ω, on a :

Il est clair que toute transformation fortement mélangeante est, a fortiori, faiblement mélangeante et que toute transformation faiblement mélangeante est, a fortiori, ergodique.

La condition de mélange faible est particulièrement intéressante du point de vue analytique. Reprenons l'opérateur T défini au chapitre 2. On peut définir le spectre de T (cf. théoriespectrale). Disons que T a un spectre continu si 1 est la seule valeur propre de T et de plus valeur propre simple. On peut alors prouver que θ est faiblement mélangeante si, et seulement si, T a un spectre continu.


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Pour citer l’article

Antoine BRUNEL, « ERGODIQUE THÉORIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-ergodique/