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ERGODIQUE THÉORIE

Propriétés de mélange

Revenons au modèle de Poincaré et supposons que le liquide enfermé dans le récipient Ω soit, suivant une image de Halmos, un mélange de vermouth et de gin dans les proportions de 9/10 de gin et 1/10 de vermouth. Le récipient Ω est un shaker que l'on agite pour confectionner un cocktail. Chaque mouvement d'agitation du shaker s'effectue aux instants 1, 2, ..., n, ... Si B est la partie de Ω occupée initialement par le vermouth, alors, pour toute autre partie mesurable A du shaker, le rapport entre la quantité de vermouth contenue dans A et la quantité totale de vermouth est, à l'instant n,

ou encore, en désignant par 1A la fonction caractéristique de l'ensemble A,

La moyenne arithmétique de ces rapports pris aux instants 0, 1, ..., n − 1 est donc :

On suppose toujours m(Ω) = 1. Si θ est ergodique, la suite (4) converge vers m(A). Autrement dit, en moyenne, la suite :

converge vers m(A). Cela est, bien entendu, réalisé a fortiori si :
condition qui exprime qu'après un temps assez long toute partie telle que A contient la même proportion de gin et de vermouth qui se trouvent ainsi parfaitement mélangés.

On pose alors les définitions suivantes :

– La transformation θ est dite fortement mélangeante si, pour tout couple de parties mesurables A et B de Ω, on a :

– La transformation θ est dite faiblement mélangeante si, pour tout couple de parties mesurables A et B de Ω, on a :

Il est clair que toute transformation fortement mélangeante est, a fortiori, faiblement mélangeante et que toute transformation faiblement mélangeante est, a fortiori, ergodique.

La condition de mélange faible est particulièrement intéressante du point de vue analytique. Reprenons l'opérateur T défini au chapitre 2. On peut définir le spectre de T (cf. théoriespectrale). Disons que T a un spectre continu si 1 est la seule valeur propre de T et de plus valeur propre simple. On peut alors prouver que θ est faiblement mélangeante si, et seulement si, T a un spectre continu.

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Pour citer cet article

Antoine BRUNEL. ERGODIQUE THÉORIE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • PRIX ABEL 2020

    • Écrit par
    • 1 824 mots
    • 2 médias

    Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».

    Hillel...

  • BIRKHOFF GEORGE DAVID (1884-1944)

    • Écrit par
    • 335 mots

    Après des études à Chicago, Birkhoff enseigna à l'université du Wisconsin (1907-1909), à celle de Princeton (1909-1912) et enfin à l'université Harvard, de 1912 jusqu'à sa mort. Il fut un brillant enseignant et directeur de recherches : vers le milieu du siècle, une bonne partie des plus grands...

  • MÉDAILLES FIELDS 2010

    • Écrit par
    • 652 mots

    Décernées tous les quatre ans à, au plus, quatre mathématiciens âgés de moins de quarante ans, les médailles Fields signalent, en couronnant leurs auteurs, la plupart des avancées majeures en mathématiques pures. Les lauréats de 2010 marquent, par la diversité de leurs contributions, l'abondante production...

  • RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

    • Écrit par
    • 1 491 mots
    ...partout des fonctions monotones est d'une simplicité remarquable. D'ailleurs, le lemme élémentaire qu'il a établi et utilisé dans cette démonstration a trouvé plus tard d'autres applications, par exemple dans son important mémoire sur le théorèmeergodique de G. D. Birkhoff et ses généralisations.
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