ERGODIQUE THÉORIE
Propriétés de mélange
Revenons au modèle de Poincaré et supposons que le liquide enfermé dans le récipient Ω soit, suivant une image de Halmos, un mélange de vermouth et de gin dans les proportions de 9/10 de gin et 1/10 de vermouth. Le récipient Ω est un shaker que l'on agite pour confectionner un cocktail. Chaque mouvement d'agitation du shaker s'effectue aux instants 1, 2, ..., n, ... Si B est la partie de Ω occupée initialement par le vermouth, alors, pour toute autre partie mesurable A du shaker, le rapport entre la quantité de vermouth contenue dans A et la quantité totale de vermouth est, à l'instant n,
La moyenne arithmétique de ces rapports pris aux instants 0, 1, ..., n − 1 est donc :
On suppose toujours m(Ω) = 1. Si θ est ergodique, la suite (4) converge vers m(A). Autrement dit, en moyenne, la suite :
On pose alors les définitions suivantes :
– La transformation θ est dite fortement mélangeante si, pour tout couple de parties mesurables A et B de Ω, on a :
– La transformation θ est dite faiblement mélangeante si, pour tout couple de parties mesurables A et B de Ω, on a :
Il est clair que toute transformation fortement mélangeante est, a fortiori, faiblement mélangeante et que toute transformation faiblement mélangeante est, a fortiori, ergodique.
La condition de mélange faible est particulièrement intéressante du point de vue analytique. Reprenons l'opérateur T défini au chapitre 2. On peut définir le spectre de T (cf. théoriespectrale). Disons que T a un spectre continu si 1 est la seule valeur propre de T et de plus valeur propre simple. On peut alors prouver que θ est faiblement mélangeante si, et seulement si, T a un spectre continu.
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Écrit par
- Antoine BRUNEL : professeur à la faculté des sciences de Reims.
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