ERGODIQUE THÉORIE
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Systèmes dynamiques
On ne donnera pas de définition générale et on se limitera aux systèmes (Ω, m, θ) ayant les propriétés énoncées au début du paragraphe 2 en renvoyant à l'article systèmes dynamiques. On appelle un tel triplet
Un autre invariant fondamental des systèmes dynamiques est l'entropie ou invariant de Kolmogoroff-Sinaï qui peut se définir de la façon suivante : Désignons par χ la fonction réelle continue et positive sur [0, 1], telle que χ(x) = − x lg x, pour 0 < x ≤ 1 ; à toute partition mesurable finie :


On observe que, pour tout entier k,


La fonction χ est concave et l'on en déduit, pour deux partitions Π et Π′, que :



On pose alors :

Pour terminer, donnons un exemple. Soit A = {a1, a2, ..., an} un ensemble à n éléments ; munissons-le de la topologie discrète et de la mesure de probabilité équirépartie :


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Écrit par :
- Antoine BRUNEL : professeur à la faculté des sciences de Reims.
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Pour citer l’article
Antoine BRUNEL, « ERGODIQUE THÉORIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-ergodique/