ORTHOGONAUX POLYNÔMES

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Polynômes orthogonaux

Soit I un intervalle de R non réduit à un point et p une fonction à valeurs réelles continue sur I, telle qu'en tout point x intérieur à I, p (x) > 0. Soit CI(p) l'espace vectoriel des fonctions f à valeurs complexes continues sur I telles que :

On munit CI(p) du produit hermitien :

L'espace hermitien CI(p) n'étant pas complet, on est amené à le considérer comme un sous-espace vectoriel L2I(p) des classes de fonctions f mesurables sur I à valeurs complexes et telles que :

Muni du produit hermitien précédent, L2I(p) est un espace hilbertien.

Plaçons-nous dans l'un des deux cas suivants :

a) L'intervalle I est borné et p est intégrable sur I, c'est-à-dire que :

b) L'intervalle I est non borné, p est intégrable sur I et à décroissance rapide à l'infini, c'est-à-dire que, pour tout entier n,

Les fonctions monomiales en :↦ xn appartiennent alors à CI(p). La suite (Pn) des fonctions polynomiales déduite de la famille (en) par orthonormalisation est appelée système de polynômes orthogonaux sur I associé au poids p ; pour tout entier naturel n, la suite (Pn) est un polynôme à coefficients réels de degré n, et le coefficient dominant de (Pn) est strictement positif.

Réciproquement, soit (Qn) une suite orthogonale de polynômes à coefficients complexes telle que, pour tout entier n, le polynôme Qn soit de degré n. Pour tout entier n, il existe un nombre complexe λn et un seul tel que Qn = λnPn ; plus précisément :

En utilisant le fait que Pn est orthogonal à tout polynôme de degré inférieur ou égal à − 1, on prouve facilement les résultats suivants :

Pour tout entier naturel non nul n, il existe un triplet (αn, βn, γn) de nombres réels et un seul tel que :

(formule de récurrence linéaire à deux termes) ; en outre, αn est strictement positif et γn strictement négatif.

Toutes les racines de Pn sont réelles, simples et intérieures à I et, pour tout entier naturel non nul n, les racines de Pn séparent celles de Pn+1.

Enfin, lorsque l'intervalle I est symétrique par rapport à 0 et que la fonction p est paire, le polynôme Pn e [...]


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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, « ORTHOGONAUX POLYNÔMES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes-orthogonaux/