ORTHOGONAUX POLYNÔMES

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Équations différentielles des polynômes orthogonaux

Soit I = [α, β] un intervalle compact de R, a et b deux fonctions à valeurs réelles indéfiniment dérivables sur I, la fonction a ne s'annulant pas sur l'intérieur de I et admettant un zéro simple aux points α et β. On considère l'équation différentielle :

où λ est un nombre complexe. De telles équations interviennent, par exemple, dans les problèmes de Sturm-Liouville. Les solutions de (1) sont les fonctions propres de l'endomorphisme U : f ↦ af + bf de l'espace vectoriel E des fonctions indéfiniment dérivables sur I. Pour étudier l'équation (1), on introduit sa fonction résolvante, c'est-à-dire une fonction r à valeurs réelles strictement positives, définie sur l'intérieur de I vérifiant l'équation différentielle :
alors :

Supposons que les nombres :

soient réels strictement positifs. Dans ce cas, (x − α) − μr(x)a(x) admet une limite finie non nulle au point α et (β − x) − υr(x)a(x) admet une limite finie non nulle au point β. Par suite, pour tout couple (f, g) d'éléments de E, la fonction rfḡ est intégrable sur I.

On peut donc définir un produit hermitien sur E par la formule :

L'endomorphisme U est alors hermitien ; plus précisément :

Dans beaucoup de cas intervenant en pratique, on peut déterminer une base hilbertienne de E constituée de vecteurs propres de U. Nous nous contentons ici d'examiner le cas où a et b sont des fonctions polynomiales de la forme suivante :

Pour tout entier naturel n, le sous-espace vectoriel En de E constitué des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n est stable par U. Les conditions μ > 0 et ν > 0 sont équivalentes aux conditions αγ + δ > 0 et βγ + δ > 0. De plus :

est une résolvante de U. Le système (Pn) de polynômes orthogonaux associé au poids r est une base hilbertienne de E constituée de fonctions propres de U ; plus précisément :

Les polynômes Pn s'appellent polynômes de Jacobi. Dans le cas où μ = ν = 1, on trouve les polynômes de Legendre ; dans le cas où μ = ν = 1/2, on trouve les polynômes de Tchebichev, ainsi que dans le cas où μ = ν = 3/2.

Soit maintenant I un inter [...]


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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, « ORTHOGONAUX POLYNÔMES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes-orthogonaux/