TRANSCENDANTS NOMBRES
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- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
Indépendance algébrique de nombres transcendants
La transcendance d'un nombre α signifie qu'il n'est pas racine d'un polynôme à coefficients entiers. Plus généralement, n nombres complexes α1, α2, ..., αn sont dits algébriquement indépendants s'il n'existe aucun polynôme non nul P(T1, ..., Tn) à n indéterminées et à coefficients entiers tel que P(α1, ..., αn), = 0, ce qui implique bien entendu que α1, ..., αn sont transcendants. On n'a que peu de résultats sur cette question ; par exemple, on ignore si e et π sont algébriquement indépendants. On conjecture que, sous les conditions (a) du théorème IV, les zj sont algébriquement indépendants.
Les résultats positifs les plus intéressants sont les suivants :
Théorème V (Lindemann). Si α1, ..., αn sont des nombres algébriques linéairement indépendants sur Q, les nombres eα1, ..., eαn sont algébriquement indépendants.
Théorème VI(Siegel). Si J′0 est la fonction de Bessel d'indice 0, alors les nombres J0(α) et J′0(α) sont algébriquement indépendants pour tout nombre algébrique α ≠ 0.
Une même méthode, due à Siegel, permet de démontrer ces deux résultats. Elle applique une idée analogue à celle de la démonstration du théorème II, utilisant le fait que les fonctions eaz et J0(z) vérifient une équation différentielle linéaire homogène et des majorations tirées de la théorie des fonctions analytiques ; mais les détails de la démonstration sont beaucoup plus délicats et compliqués.
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Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
Classification
Pour citer cet article
Jean DIEUDONNÉ. TRANSCENDANTS NOMBRES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Autres références
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BAKER ALAN (1939-2018)
- Écrit par Bernard PIRE
- 338 mots
Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...
-
CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES
- Écrit par Bernard PIRE
- 713 mots
Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Saxe, Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles.
Né à Saint-Pétersbourg (Russie) d'un père danois et d'une mère autrichienne, Cantor réside avec...
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CORPS, mathématiques
- Écrit par Encyclopædia Universalis et Robert GERGONDEY
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...si a0 = a1 = a2 = ... = an = 0. Le corps K(x) est alors isomorphe au corps K(X) des fractions rationnelles sur K. On dit que x est transcendant et que K(x) est une extension transcendante simple de K. Évidemment, tout élément y de K(x) qui n'appartient pas à K est transcendant sur... -
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Le théorème de Liouville a une grande importance historique, puisqu'il a permis de définir explicitement les premiers nombres transcendants ( nombres de Liouville), grâce à des développements (décimaux ou en fraction continuée) lacunaires tels que :jusque-là on ne connaissait que l'existence...
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