FRACTALES

Certaines structures très irrégulières, souvent construites par itération, possèdent des symétries de dilatation caractéristiques : l'agrandissement d'une partie est semblable au tout. Le concept de fractalité unifie la description de nombreux objets mathématiques ou physiques et quantifie leur degré d'irrégularité. Il a été introduit en 1975 par Benoît Mandelbrot, mathématicien français qui a poursuivi ses recherches aux États-Unis, dans les laboratoires d'I.B.M. Le terme fractal, forgé à partir du latin fractus (du verbe frangere, qui signifie « briser »), souligne le caractère fractionné à l'infini de ces ensembles présentant des irrégularités à toutes les échelles.

Objet fractal

Photographie

Un des plus beaux exemples naturels de géométrie fractale, qui a fait connaître le mathématicien Benoît Mandelbrot, nous est sans doute donné par le chou romanesco, où le motif structural se voit à chaque échelle de la continuité de sa croissance (autosimilarité). 

Crédits : Y. Gautier

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Les mathématiciens du début du xx^e siècle (Georg Cantor, Felix Hausdorff ou Helge von Koch), qui s'interrogeaient sur la notion de dérivabilité, avaient construit toutes sortes de contre-exemples aux règles habituelles du calcul infinitésimal : des courbes continues mais ne possédant de tangentes en aucun point ; des surfaces et des volumes très irréguliers. On avait associé à ces objets une dimension dite de Hausdorff-Besicovitch, définie comme suit : on couvre l'objet par des boules de diamètre δ inférieur à ε, et on étudie la limite, quand ε tend vers 0, de la valeur minimale de la somme des δ^α ; la dimension est la valeur de α pour laquelle cette limite saute de 0 à l'infini. Pour une figure régulière, cette dimension est identique à la dimension topologique ordinaire (1 pour une ligne, 2 pour une surface, etc.), mais cela n'est pas vrai en général.

Flocon de neige

Dessin

L'île (ou le flocon de neige) de Helge von Koch s'obtient à partir d'un triangle équilatéral en itérant l'addition d'un triangle semblable de côté trois fois plus petit. On obtient ainsi d'abord une étoile de David, puis une structure de plus en plus découpée. La dimension fractale de cet... 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Mandelbrot, généralisant les travaux des mathématiciens français Gaston Julia et Pierre Fatou sur les itérations des fonctions complexes, montra l'intérêt de l'introduction d'une telle dimension éventuellement non entière pour caractériser des figures géométriques « ayant la propriété de pouvoir être décomposées en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout ». Il proposa alors de définir comme objet fractal un ensemble S dans u [...]