MÉTRIQUES ESPACES

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Distances

L'analyse des principales propriétés de la distance entre deux points dans l'espace euclidien conduit à la définition axiomatique suivante. On appelle distance sur un ensemble E une application d de E × E dans l'ensemble R+ des nombres réels positifs ou nul telle que, quels que soient les éléments x, y et z de E, on ait :

cette dernière condition est appelée inégalité triangulaire car elle est la généralisation de la classique inégalité entre les longueurs des côtés d'un triangle.

Un ensemble E muni d'une distance s'appelle un espace métrique. Si (E, d) et (E′, d′) sont deux espaces métriques, une bijection f de E sur E′ sera dite une isométrie si elle conserve la distance, c'est-à-dire si d′(f(x), (y)) = d(xy) quels que soient xy ∈ E ; deux espaces métriques sont dits isométriques s'il existe une telle isométrie de l'un sur l'autre et présentent alors, « par transport » au moyen de cette isométrie, des propriétés semblables.

Exemples

On verra dans ce qui suit que la notion d'espace métrique recouvre un matériau mathématique très varié. Comme exemple extrême, remarquons que tout ensemble peut être muni de la distance, dite triviale, définie par d(xx) = 0, d(xy) = 1 si x y. Si E est un espace métrique de distance d, tout sous-ensemble A de E est un espace métrique, dit sous-espace métrique de E pour la distance induite d′ définie par d′(xy) = d(xy), x∈ A.

Une classe très importante d'espaces métriques est constituée par les espaces vectoriels normés, en définissant ici la distance de deux éléments x et y comme la norme de leur différence, soit :

la distance ainsi obtenue est invariante pour les translations de l'espace vectoriel, c'est-à-dire d(x − a, y − a) = d(xy) quels que soient les éléments x, y et a. Nous renvoyons à l'article espaces vectorielsnormés pour de nombreux exemples, relatifs à l'analyse fonctionnelle notamment, et mentionnerons seulement ici les trois distances suivantes, qui sont déduites des normes correspondantes, sur R2 :
x = (x1, x2), y = (y1, y2). Ces distances vérifien [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « MÉTRIQUES ESPACES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-metriques/