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MÉTRIQUES ESPACES

La notion d'espace métrique, introduite en 1906 par M. Fréchet et développée peu après par F.  Hausdorff, est directement issue d'une analyse des principales propriétés de la distance usuelle. L'extension aux espaces métriques des propriétés de l'espace euclidien qui sont définissables à partir de la distance seule introduit un langage géométrique dans de nombreuses questions d'analyse et de théorie des nombres. C'est ainsi que l'on définit, à partir des boules, les ouverts. Par la manière naturelle dont s'introduisent les voisinages et les notions de limite et de continuité, l'étude des espaces métriques est une excellente introduction à la topologie générale.

Distances

L'analyse des principales propriétés de la distance entre deux points dans l'espace euclidien conduit à la définition axiomatique suivante. On appelle distance sur un ensemble E une application d de E × E dans l'ensemble R+ des nombres réels positifs ou nul telle que, quels que soient les éléments x, y et z de E, on ait :

cette dernière condition est appelée inégalité triangulaire car elle est la généralisation de la classique inégalité entre les longueurs des côtés d'un triangle.

Un ensemble E muni d'une distance s'appelle un espace métrique. Si (E, d) et (E′, d′) sont deux espaces métriques, une bijection f de E sur E′ sera dite une isométrie si elle conserve la distance, c'est-à-dire si d′(f(x), f (y)) = d(x, y) quels que soient x, y ∈ E ; deux espaces métriques sont dits isométriques s'il existe une telle isométrie de l'un sur l'autre et présentent alors, « par transport » au moyen de cette isométrie, des propriétés semblables.

Exemples

On verra dans ce qui suit que la notion d'espace métrique recouvre un matériau mathématique très varié. Comme exemple extrême, remarquons que tout ensemble peut être muni de la distance, dite triviale, définie par d(x, x) = 0, d(x, y) = 1 si x y. Si E est un espace métrique de distance d, tout sous-ensemble A de E est un espace métrique, dit sous-espace métrique de E pour la distance induite d′ définie par d′(x, y) = d(x, y), x, y ∈ A.

Une classe très importante d'espaces métriques est constituée par les espaces vectoriels normés, en définissant ici la distance de deux éléments x et y comme la norme de leur différence, soit :

la distance ainsi obtenue est invariante pour les translations de l'espace vectoriel, c'est-à-dire d(x − a, y − a) = d(x, y) quels que soient les éléments x, y et a. Nous renvoyons à l'article espaces vectorielsnormés pour de nombreux exemples, relatifs à l'analyse fonctionnelle notamment, et mentionnerons seulement ici les trois distances suivantes, qui sont déduites des normes correspondantes, sur R2 :
x = (x1, x2), y = (y1, y2). Ces distances vérifient les inégalités :
dont on verra des conséquences plus bas. Si (E, δ) et (E′, δ′) sont des espaces métriques, on peut utiliser ce qui précède pour définir des distances δi sur le produit cartésien E × E′, en posant :
i = 1, 2, 3, et où les di sont les distances sur R2 ci-dessus.

Les espaces vectoriels normés sont les espaces métriques dont les propriétés « ressemblent le plus » à celles des espaces numériques habituels. Donnons maintenant des exemples qui ne rentrent pas dans ce cas.

– La droite numérique achevée. Désignons par R− la droite numérique achevée, R− = R ∪ {− ∞} ∪ {+ ∞}, qui est obtenue en adjoignant à l'ensemble R des nombres réels deux nouveaux éléments, que l'on désigne traditionnellement par − ∞ et + ∞ vu le rôle qu'ils jouent en analyse, et remarquons que l'application f, définie par :

réalise une bijection de R− sur le segment [− 1, + 1]. On[...]

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Média

Inégalités de distances

Inégalités de distances

Autres références

  • COSMOLOGIE

    • Écrit par Marc LACHIÈZE-REY
    • 9 300 mots
    • 6 médias
    L'espace ordinaire est muni de trois dimensions x, y et z. Entre deux points séparés de dx en hauteur, dy en largeur et dz en profondeur, le carré de la distance s'écrit de manière simple :
    Pour généraliser à quatre dimensions, il suffit de rajouter un quatrième terme similaire correspondant...
  • FRÉCHET MAURICE (1878-1973)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 305 mots

    Mathématicien français dont le nom reste attaché principalement à l'introduction des espaces métriques en analyse fonctionnelle. Né à Maligny, Fréchet entra à l'École normale supérieure en 1900. Il fut successivement professeur de mécanique à l'université de Poitiers (1910-1919), professeur...

  • HAUSDORFF FELIX (1868-1942)

    • Écrit par Jeanne PEIFFER
    • 690 mots

    La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff repose surtout sur son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques.

    Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à...

  • HUREWICZ WITOLD (1904-1956)

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 184 mots

    Mathématicien américain d'origine polonaise, né à Łódź (Pologne) et mort à Uxmal, au Mexique. Witold Hurewicz fit ses études supérieures à Vienne, où il passa son doctorat en 1926, puis à Amsterdam, où il resta jusqu'en 1936 ; il partit ensuite pour les États-Unis, et travailla à l'Institute for...

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Voir aussi