ESPACE-TEMPS

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Espace-temps et formalisme mathématique

L'espace-temps de la relativité restreinte peut être caractérisé par l'intervalle élémentaire :

qui sépare deux points-événements infiniment voisins P(x, y, z, t) et P′(x + dx, y + dy, z + dz, ct + cdt). Cet intervalle est invariant dans une transformation de Lorentz.

On constate que l'expression (3), qui fait intervenir des coordonnées réelles (x, y, z, t), comporte un signe + et trois signes − : l'ensemble des signes + − − −  est dit signature et cette signature est dite hyperbolique normale. Elle généralise en effet, dans un formalisme quadridimensionnel, l'équation usuelle de l'hyperbole y2 − x2 = Cte. Une telle signature hyperbolique est choisie pour assurer la condition :

c'est-à-dire :
ou :

La vitesse de la lumière est alors supérieure à la vitesse de toute particule matérielle.

Bien entendu, l'emploi de coordonnées imaginaires telles que x4 = ict c'est-à-dire (dx4)2 = − c2 dt2 entraînerait :

L'intervalle comporte alors des termes de même signe et la signature est dite elliptique. Il s'agit là d'une représentation purement formelle qui permet parfois des développements plus simples. D'une manière analogue, en posant :

c'est-à-dire une extension quadridimensionnelle du théorème de Pythagore.

L'espace-temps quadridimensionnel constitue un espace improprement euclidien, « improprement » en raison de la signature hyperbolique. L'introduction d'une signature elliptique, par l'intermédiaire de coordonnées imaginaires, permet de lui conférer les propriétés usuelles d'un espace quadridimensionnel euclidien (théorème de Pythagore).

La relativité générale introduit un espace-temps toujours quadridimensionnel mais non euclidien. Il s'agit en effet d'un espace-temps de Riemann, qui se distingue de l'espace-temps de Minkowski (dit espace-temps « plat ») par la présence d'une courbure.

Dans ce cas, l'intervalle élémentaire entre deux points infiniment voisins de cet espace-temps courbe quadridimensionnel :

introduit une « métrique » dont les composantes gαβ permettent de définir une courbure non nulle.

C'est la combinaison des gαβ et de leurs dérivées premières et secondes qui permet alors de définir la courbure de l'espace-temps.

Il faut dans ces conditions que les gαβ puissent être dérivés une et même deux fois, sauf en quelques régions singulières : on dit alors que la variété espace-temps courbe est de classe C2, C3 par morceaux.

Les gαβ forment les deux composantes d'un tenseur symétrique du second rang : le tenseur métrique. Si la courbure est faible :

Les ds2 qui caractérisent un espace-temps courbe quadridimensionnel tendent alors vers le ds2 (3), qui définit l'espace-temps plat de la relativité restreinte : ce dernier joue ainsi le rôle d'un espace-temps euclidien (ou plutôt improprement euclidien) tangent à l'espace-temps courbe.

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Pour citer l’article

Jean-Pierre PROVOST, Marie-Antoinette TONNELAT, « ESPACE-TEMPS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 juillet 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/espace-temps/