KUMMER ERNST EDUARD (1810-1893)

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Les « nombres idéaux »

C'est de 1837 qu'est daté le premier mémoire de Kummer sur le grand théorème de Fermat, concernant l'impossibilité de l'équation xm + ym = zm dans l'anneau Z des entiers dès que m est supérieur à 2. Kummer fut ainsi amené, comme plusieurs autres chercheurs contemporains, à s'intéresser aux anneaux cyclotomiques, ou, suivant son langage, « aux nombres complexes formés par des nombres entiers et des racines de l'unité », nombres complexes de la forme :

où les ai sont entiers relatifs et où ξ est une racine primitive de ξ n = 1. Le cas le plus simple est celui des nombres de Gauss a + bi, a et b entiers relatifs. Kummer crut un moment avoir démontré le théorème de Fermat, grâce à cette extension du concept de nombre entier. Mais son ami Dirichlet, à qui il soumit son manuscrit, vers 1843, lui signala un point faible dans sa démonstration : si la décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers est unique dans l'anneau Z des entiers et dans l'anneau de Gauss, il n'en est pas toujours de même dans les anneaux cyclotomiques.

Des tentatives analogues à celle de Kummer avaient été faites en France ; Cauchy lui-même s'était attaqué, sans résultat, à ce problème. Joseph Liouville avait apporté à une preuve de Gabriel Lamé une critique analogue à celle que Dirichlet faisait à Kummer. Celui-ci lui écrivit de Breslau, le 28 avril 1847, en lui envoyant ses propres travaux de 1845, où la difficulté était enfin, partiellement, vaincue : « Quant à la proposition qu'un nombre complexe ne peut être décomposé en facteurs premiers que d'une seule manière, je puis vous assurer qu'elle n'a pas lieu généralement tant qu'il s'agit des nombres complexes de la forme :

mais qu'on peut la sauver en introduisant un nouveau genre de nombres complexes, que j'ai nommé nombre complexe idéal. Les applications de cette théorie à la démonstration du théorème de Fermat m'ont occupé depuis longtemps et j'ai réussi à faire dépendre l'impossibilité de l'équation de deux propriétés d'un nombre pre [...]

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  • : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences

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Pour citer l’article

Jean ITARD, « KUMMER ERNST EDUARD - (1810-1893) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/ernst-eduard-kummer/