INTÉGRALES ÉQUATIONS
Méthode de Fredholm
Supposons toujours A compact et le noyau K continu sur A2. Si l'on partage A en p parties Ai de mesures αi, i = 1, ..., p, et si l'on choisit xi ∈ Ai pour chaque indice i, on peut considérer le système linéaire :
Le monôme (9) est le terme général d'une série entière convergente pour tout λ ∈ C ; en ajoutant à la série un terme constant égal à 1, on obtient une fonction entière D(λ) appelée déterminante du noyau K et aussi déterminante du noyau transposé K∼ défini par :
Le produit de cette déterminante et du noyau résolvant est encore une fonction entière de λ :
Le premier théorème de Fredholm affirme que, si D(λ) ≠ 0, pour tout second membre f ∈ C(A), l'équation (1) a une solution unique, encore donnée par (6), avec maintenant :
Si au contraire λ est valeur singulière du noyau K, c'est-à-dire D(λ) = 0, le deuxième théorème de Fredholm affirme que chacune des équations homogènes (2) et :
Si y est solution de (1) et z solution de (2), on a :
De ces trois théorèmes se dégage l' alternative de Fredholm :
1. Ou bien l'opérateur I − λK est inversible dans L[C(A), C(A)] ;
2. Ou bien l'opérateur I − λK n'est ni injectif ni surjectif, son noyau étant de dimension finie, son image étant fermée et de codimension finie.
Le deuxième cas se présente pour les valeurs de λ qui annulent la déterminante : si donc il y en a, elles sont en nombre fini ou forment une suite λm → ∞, chaque éventualité pouvant se présenter.
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Écrit par
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
- Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis
Classification
Pour citer cet article
Universalis et Michel HERVÉ. INTÉGRALES ÉQUATIONS [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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ASYMPTOTIQUES CALCULS
- Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
- 6 250 mots
- 1 média
Nous dégagerons ici trois méthodes importantes pour étudier le comportement asymptotique d'intégrales dépendant d'un paramètre lorsque ce paramètre tend vers l'infini. -
CARLEMAN TORSTEN (1892-1949)
- Écrit par Jacques MEYER
- 214 mots
Avant d'enseigner, Carleman travailla à l'université d'Upsal (où il il fit ses études supérieures) et publia une trentaine d'articles mathématiques traitant de la théorie des fonctions d'une variable réelle ou complexe et de la théorie des équations intégrales ; parmi ces œuvres, les plus connues...
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FREDHOLM IVAR (1866-1927)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 320 mots
Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce...
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HAAR ALFRÉD (1885-1933)
- Écrit par Jeanne PEIFFER
- 412 mots
Mathématicien hongrois, né à Budapest et mort à Szeged. Élève de David Hilbert à Göttingen (1905-1910), Alfred Haar, après un court passage à l'École polytechnique de Zurich, devint en 1912 professeur à l'université de Klausenburg (Kolozsvár), où enseigna F. Riesz. Lorsqu'en 1918 Klausenburg...
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Voir aussi
