INTÉGRALES ÉQUATIONS

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Opérateurs compacts

Propriété de compacité

L'inégalité de Schwarz, appliquée à (3), donne :

et :

Ces inégalités suggèrent les hypothèses suivantes sur le noyau K : l'espace L2(A) contient chaque fonction :

et l'application → Kx est une application continue de A dans L2(A).

Sous ces hypothèses, réalisées en particulier si K est continu sur le compact A2, que l'on munisse C(A) de la norme :

comme aux chapitres 2 et 3, ou que l'on munisse C(A) de la norme :
définissant une topologie strictement moins fine, l'opérateur intégral K a cette propriété (obtenue en appliquant le théorème d'Ascoli à la suite bornée équicontinue Kyn) que, pour toute suite yn bornée dans C(A), la suite Kyn contient une suite partielle convergente dans C(A).

Cette propriété de l'opérateur K fut dégagée, puis étudiée dans un espace vectoriel normé quelconque E, par le Hongrois Frédéric Riesz, sous le nom de complète continuité, auquel on préfère aujourd'hui celui de compacité : elle entraîne en effet la continuité de l'opérateur, mais s'oppose à ce qu'il ait un inverse continu, du moins si E est de dimension infinie.

La seconde norme sur C(A) indiquée ci-dessus a sur la première l'avantage de munir C(A) d'une structure préhilbertienne (cf. espace de hilbert, chap. 1) permettant de considérer d'autre part des opérateurs auto-adjoints (cf. ci-dessous).

Valeurs spectrales

Soit E un espace vectoriel normé quelconque et K ∈ L(E, E) : on dit qu'un nombre complexe ζ est valeur spectrale de K si l'opérateur K − ζI n'est pas inversible dans L(E, E), valeur propre de K si K − ζI n'est pas injectif ; ceci entraîne cela, et réciproquement, si E est de dimension finie.

Soit E de dimension infinie et K compact : alors, la valeur 0 est spectrale, mais elle n'est pas propre en général ; au contraire, si ζ ≠ 0, on a pour l'opérateur K − ζI l'alternative de Fredholm telle qu'elle a été énoncée à la fin du chapitre 3, de sorte qu'une valeur ζ ≠ 0 est propre si et seulement si elle est spectrale. S'il y a de telles valeurs, elles sont en nombre fini ou forment une suite tendant v [...]


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Pour citer l’article

Michel HERVÉ, « INTÉGRALES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-integrales/