Universalis
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

INTÉGRALES ÉQUATIONS

Principaux cas particuliers

Dans le cas de Volterra (cf. supra, fin du chap. 2), la déterminante ne peut s'annuler. On retrouve ce fait en remarquant que :

si x1, ..., xn sont deux à deux distincts, d'où :

Le cas de Goursat est celui où le noyau K est de la forme :

  les hi étant linéairement indépendantes dans C(A), ainsi que les ki. Dans ce cas, on a :
pour n > p ; dont D(λ) est un polynôme de degré ≤ p et le noyau K a au plus p valeurs singulières.

Le noyau K est dit hermitien si :

c'est-à-dire si :
quels que soient x et ξ ∈ A. Dans ce cas, chaque déterminant de Fredholm :
est réel et les valeurs singulières aussi ; car :
entraîne la relation :
où les deux intégrales sont réelles. Le noyau K a certainement au moins une valeur singulière s'il n'est pas identiquement nul, et il a certainement une suite λm, m ∈ N, de telles valeurs singulières, si le noyau n'est pas un noyau de Goursat. Le cas particulier de Goursat étant exclu, on a les formules :
et :

La richesse et la précision des résultats obtenus dans cette théorie, pour des noyaux quelconques et plus encore pour des noyaux hermitiens, ne sont pas seulement admirables par elles-mêmes : elles ont contribué largement à l'essor, au xxe siècle, de l'analyse fonctionnelle en général, à l'essor de la théorie des opérateurs linéaires et à celui de la théorie des espaces préhilbertiens ou hilbertiens en particulier.

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

  • : professeur à l'université de Paris-VI
  • Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
    • 6 250 mots
    • 1 média
    Nous dégagerons ici trois méthodes importantes pour étudier le comportement asymptotique d'intégrales dépendant d'un paramètre lorsque ce paramètre tend vers l'infini.

  • CARLEMAN TORSTEN (1892-1949)

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 214 mots

    Avant d'enseigner, Carleman travailla à l'université d'Upsal (où il il fit ses études supérieures) et publia une trentaine d'articles mathématiques traitant de la théorie des fonctions d'une variable réelle ou complexe et de la théorie des équations intégrales ; parmi ces œuvres, les plus connues...

  • FREDHOLM IVAR (1866-1927)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 320 mots

    Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce...

  • HAAR ALFRÉD (1885-1933)

    • Écrit par Jeanne PEIFFER
    • 412 mots

    Mathématicien hongrois, né à Budapest et mort à Szeged. Élève de David Hilbert à Göttingen (1905-1910), Alfred Haar, après un court passage à l'École polytechnique de Zurich, devint en 1912 professeur à l'université de Klausenburg (Kolozsvár), où enseigna F. Riesz. Lorsqu'en 1918 Klausenburg...

  • Afficher les 11 références

Voir aussi

Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter