CONIQUES

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Les coniques à centre

Foyers

Pour les coniques à centre, les deux définitions métriques courantes sont les suivantes :

– l'ensemble des points M qui sont centre d'un cercle passant par un point donné F et tangent à un cercle donné C′ de centre F′ : définition bifocale ;

Définition bifocale de l'ellipse

Dessin : Définition bifocale de l'ellipse

Dessin

Définition bifocale de l'ellipse 

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– l'ensemble des points M tels que la distance MF soit proportionnelle à la distance MH de M à la droite D (directrice associée à F) : définition monofocale.

La première met en jeu deux foyers, F et F′, et le cercle directeur C′ de centre F′ et de rayon (2a). Par hypothèse, FF′ = 2c est distinct de 2a (F n'appartient pas à C′). Si l'on peut écrire a, alors F est intérieur à C′ et la courbe obtenue, lieu de M tel que :

est une ellipse, convexe, connexe et bornée. Si > a, F est extérieur à C′ : l'hyperbole obtenue est composée de deux parties convexes et connexes respectivement définies par MF − MF′ = 2a et MF′ − MF = 2a. Pour un cercle, c = 0.

Ellipse

Dessin : Ellipse

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Ellipse 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Ces coniques admettent deux axes de symétrie perpendiculaires (dont FF′, appelé axe focal) et un centre de symétrie O, milieu de FF′. L'axe focal coupe la courbe aux sommets A et A′, tels que :

Une ellipse a deux autres sommets B et B′ sur l'axe secondaire de symétrie, définis par OB = OB′ = b avec
Pour une hyperbole, on pose au contraire : c2 − a2 = b2, si l'on veut n'utiliser que des nombres réels.

Tangentes

En chaque point d'une conique à centre il existe une tangente. Celle-ci est la bissectrice de l'angle géométrique FMF′ (extérieure pour l'ellipse, , intérieure pour l'hyperbole). On ne peut mener deux tangentes MT et MT′ distinctes à la conique que par un point M extérieur à celle-ci, défini par exemple par la relation MF > eMH, où e = c/a est l'excentricité de la conique (inférieure à 1 pour l'ellipse, égale à 1 pour la parabole par définition, et supérieure à 1 pour l'hyperbole). Sur la conique même (MF = eMH), ce qui est la seconde définition, il y a une tangente unique (double). D'un point intérieur (MF < eMH) on ne peut pas mener de tangentes ; c'est notamment le cas en F ou en F′. Si les tangentes existent, [...]

Tangente à l'ellipse

Dessin : Tangente à l'ellipse

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Tangente à l'ellipse 

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André WARUSFEL, « CONIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 août 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/coniques/