CONIQUES

Foyers

Pour les coniques à centre, les deux définitions métriques courantes sont les suivantes :

– l'ensemble des points M qui sont centre d'un cercle passant par un point donné F et tangent à un cercle donné C′ de centre F′ : définition bifocale ;

– l'ensemble des points M tels que la distance MF soit proportionnelle à la distance MH de M à la droite D (directrice associée à F) : définition monofocale.

La première met en jeu deux foyers, F et F′, et le cercle directeur C′ de centre F′ et de rayon (2a). Par hypothèse, FF′ = 2c est distinct de 2a (F n'appartient pas à C′). Si l'on peut écrire c < a, alors F est intérieur à C′ et la courbe obtenue, lieu de M tel que :

Ces coniques admettent deux axes de symétrie perpendiculaires (dont FF′, appelé axe focal) et un centre de symétrie O, milieu de FF′. L'axe focal coupe la courbe aux sommets A et A′, tels que :

Tangentes

En chaque point d'une conique à centre il existe une tangente. Celle-ci est la bissectrice de l'angle géométrique FMF′ (extérieure pour l'ellipse, , intérieure pour l'hyperbole). On ne peut mener deux tangentes MT et MT′ distinctes à la conique que par un point M extérieur à celle-ci, défini par exemple par la relation MF > eMH, où e = c/a est l'excentricité de la conique (inférieure à 1 pour l'ellipse, égale à 1 pour la parabole par définition, et supérieure à 1 pour l'hyperbole). Sur la conique même (MF = eMH), ce qui est la seconde définition, il y a une tangente unique (double). D'un point intérieur (MF < eMH) on ne peut pas mener de tangentes ; c'est notamment le cas en F ou en F′. Si les tangentes existent, MT et MT′ ont mêmes bissectrices que MF et MF′ ; de plus FM est bissectrice de l'angle TFT′ (cf. , pour l'ellipse). MT est perpendiculaire à MT′ si M appartient au cercle de Monge, de centre O et de rayon √2a² − c² (pour e ≤ √2).

La projection de F sur une tangente décrit le cercle de diamètre AA′ ; si la projection de F sur une droite est dans la même région que F par rapport à ce cercle, la droite donnée coupe la conique en deux points distincts que l'on peut construire ; si la projection est dans l'autre région, la droite ne coupe pas la conique. On peut déduire de cela des définitions de l'ellipse et de l'hyperbole comme enveloppes de droites, comme pour la parabole.

Parmi les tangentes à une hyperbole, deux sont particulières. Issues de O, elles n'ont aucun point de contact à distance finie avec la courbe dont elles sont des asymptotes ; elles déterminent deux angles contenant chacun une branche connexe de l'hyperbole.

Correspondances linéaires

Si une tangente variable coupe deux tangentes fixes à une conique à centre, les abscisses x et x′ des deux points d'intersection sont reliées par une relation homographique du type :

Il existe une réciproque importante à cette propriété affine : une droite joignant deux points de deux droites fixes dont les abscisses sont reliées par une telle relation (où a ≠ 0) enveloppe une conique à centre (a = 0 correspond à une parabole). Le produit des distances des deux foyers à une tangente variable est égale à b² ; les foyers sont de part et d'autre pour une hyperbole, du même côté[...]