CONIQUES

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La parabole

Définitions

La parabole est la plus simple des trois coniques traditionnelles (cercle mis à part, naturellement : on ne le considérera ici que comme un cas particulier d'ellipse). La notion de parabole est affine, non métrique ; c'est-à-dire qu'il suffit de choisir, parmi les droites d'un plan projectif, une tangente à une conique pour en faire la droite de l'infini : la conique en question devient alors une parabole. Par contre, les concepts d'axe, de sommet, de foyer surtout, étant métriques, nous donnerons de la parabole des définitions équivalentes plus élémentaires que celle qui la décrit comme une « conique tangente à la droite de l'infini », utilisant les longueurs (ou, ce qui est équivalent, la notion de cercle).

Étant donné une droite D, appelée directrice, et un point F (le foyer) non situé sur elle, la parabole est :

– l'ensemble des points M qui sont centre d'un cercle passant par F et tangent à la droite D (définition 1) ;

– l'ensemble des points M tels que la distance MF soit égale à la distance MH de M à la droite D (définition 2).

La perpendiculaire à D issue de F est l'axe de la parabole. Si elle coupe la directrice en un point K, la distance FK = p est le paramètre de la parabole. Le sommet S, situé sur la courbe, est le milieu de KF ; la médiatrice de KF est d'ailleurs la tangente au sommet. Toute la courbe est connexe, convexe et symétrique par rapport à l'axe.

Parabole

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Parabole 

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Tangentes

En chaque point M de la parabole, il existe une tangente. Celle-ci est bissectrice de l'angle formé par MF et la parallèle à l'axe ; cette bissectrice rencontre l'axe en un point T tel que S soit milieu de la projection sur l'axe du segment MT : cela détermine entièrement la tangente en M. La normale coupe l'axe en un point N tel que les vecteurs KF et MN aient des projections de même valeur sur l'axe : l'invariance de la projection de MN est une propriété caractéristique de la parabole.

Parabole

Dessin : Parabole

Parabole 

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Tout point d'une parabole pouvant être pris comme sommet si l'on modifie convenablement la condition d'orthogonalité dans le plan, certaines des propriétés précédentes sont en fait affines et non réellement métriques. Prenons par exemple une parallèle quelconque (H) à l'axe. Elle coupe la parabole en un point unique Z où la tangente sera notée (V) : on constate alors que la parabole est invariante dans la symétrie par rapport à (H) parallèlement à (V), et que Z est le milieu de la projection de la partie de tangente à la parabole comprise entre son point de contact et (H). (H) est appelé diamètre de la direction de (V), c'est-à-dire ensemble des milieux des segments PQ parallèles à (V) dont les extrémités sont sur la parabole ; les tangentes en P et Q se coupent d'ailleurs sur (H). La démonstration de ces propositions peut se ramener à une simple projection d'une parabole sur un autre plan, Z étant alors l'image du sommet, (H) celle de l'axe, etc.

Diamètres de la parabole

Dessin : Diamètres de la parabole

Diamètre de la parabole 

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Le dénombrement des points d'intersection d'une droite avec une parabole, la partition du plan en « extérieur » et « intérieur » sont naturellement des notions affines. On se bornera pourtant, pour la commodité, à considérer une parabole métrique, la projection signalée ci-dessus permettant l'extension de ces notions à une parabole affine.

Intersection avec une droite

Une droite coupe une parabole en un ou deux points. Si le point d'intersection est unique et la droite non parallèle à l'axe, la droite est tangente. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que la projection du foyer F sur elle appartienne à la tangente au sommet, ce qui donne une définition traditionnelle de la parabole comme enveloppe de droites (dont la projection sur elles d'un point fixe décrit une droite fixe). Le point de contact est alors aisément déterminé par sa projection sur l'axe, symétrique de T par rapport à S. Il existe une tangente unique ayant une direction donnée, sauf si celle-ci est celle de l'axe. Si une tangente variable coupe deux tangentes fixes distinctes en U et U′, les abscisses de ces points sont liées par une relation affine (x′ = ax + b), ce qui est une propriété affine, et le triangle UFU′ reste semblable à lui-même (ses angles sont constants), ce qui est une propriété métrique ; toutes deux sont caractéristiques de la parabole. Si les tangentes fixes se coupent en V, F appartient au cercle (UVU′) et l'orthocentre du triangle UVU′ est sur la directrice.

Donnons-nous une droite quelconque D. Si la projection de F sur D est sur la tangente au sommet, on vient de voir que D est une tangente à la parabole. [...]

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André WARUSFEL, « CONIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/coniques/