CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

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Équations différentielles

Mais, dans ce rôle de législateur de l'analyse, la plus profonde contribution de Cauchy se situe sans conteste dans le domaine des équations différentielles, où il est le premier à donner des démonstrations générales d'existence et d'unicité des solutions (ses prédécesseurs ne se posaient même pas ces questions). En fait, les trois méthodes principales dont on lui attribue d'ordinaire la paternité – la méthode de Cauchy-Lipschitz, la méthode des approximations successives et le calcul des majorantes – avaient toutes été utilisées sporadiquement avant lui, en vue de calcul approché ou de majorations des solutions. Le très grand mérite de Cauchy a été d'avoir aperçu que l'on pouvait, par des calculs de majoration, prouver la convergence de ces procédés d'approximation et obtenir à la limite la solution cherchée.

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Dans le chapitre « La théorie des fonctions analytiques »  : […] La notion de fonction remonte au xvii e  siècle ; mais jusque vers 1800, on admettait généralement qu'une fonction f d'une variable réelle, définie dans un intervalle, était indéfiniment dérivable, sauf en un nombre fini de points exceptionnels. On peut, pour une telle fonction, et pour tout point non exceptionnel x 0 , former la série de Taylor de f au point x 0  : et comme les idées sur la conve […] Lire la suite

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Dans le chapitre « Corps de restes »  : […] Le procédé de Kronecker pour définir les corps de nombres algébriques peut être présenté dans un contexte plus général. Un idéal m d'un anneau commutatif unitaire A est appelé idéal maximal s'il n'est contenu strictement dans aucun autre idéal que A lui-même. L'anneau quotient A/ m ne possède alors aucun idéal autre que 0 et A/ m , car de tels idéaux sont en correspondance biunivoque avec les i […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

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Dans le chapitre « Le théorème de Cauchy-Kovalevskaïa »  : […] Supposons l'opérateur P de la forme : où les Q k sont des opérateurs différentiels d'ordre au plus k et où ∇ x désigne le gradient relativement à x . Le problème de Cauchy s'énonce alors : « Trouver u vérifiant : où f et g 0 , g 1 ,..., g m-1 sont des fonctions données. » Le théorème de Cauchy-KovalevskaÎa suppose que les coefficients de P ainsi que les données f , g 0 , ...,  g m-1 sont d […] Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

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Dans le chapitre « Les inégalités de Cauchy »  : […] Soit f une fonction analytique dans un disque D(0, R) ; la fonction f ( z ) est donc somme dans D(0, R) d'une série entière dont les coefficients a n sont donnés par la formule (10). Si on désigne par M( r ) le maximum de f ( z ) pour | z | =  r (c'est aussi, d'après (15), le maximum pour | z | ≤  r ), on obtient donc : Comme conséquence simple de (16), on obtient le théorème de Liouville  : Un […] Lire la suite

INFINI, mathématiques

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Dans le chapitre « Le passage à la limite »  : […] Conséquence lourde de difficultés : l'exigence de donner un statut au concept de « passage à la limite » et au concept, solidaire, de « quantité évanouissante ». Lorsque Leibniz réfléchit au sens de l'écriture : pour n croissant indéfiniment, il se demande ce que signifie ici le signe de l'égalité. À rigoureusement parler, ce signe est privé de sens puisque la sommation : ne peut être achevée. Il […] Lire la suite

LIMITE NOTION DE

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Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS - (1789-1857) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/augustin-louis-cauchy/