THÉORÈMES DES INTÉGRALES DE CAUCHY

L’élaboration des méthodes qui aboutiront au théorème intégral de Cauchy dans l’analyse complexe s’étend sur plusieurs années. L’étude des fonctions d’une variable complexe a en effet occupé Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) pendant toute sa jeunesse, et il a développé sa théorie des fonctions holomorphes dans plusieurs articles publiés entre 1814 et 1831. On distingue particulièrement dans cette nombreuse production le « Mémoire sur les intégrales définies où l’on fixe le nombre et la nature des constantes arbitraires et des fonctions arbitraires que peuvent comporter les valeurs de ces mêmes intégrales quand elles deviennent indéterminées », publié en 1822 par le Bulletin de la Société philomathique, une société qui jouait le rôle d’antichambre de l’Académie des sciences. Après s’être plaint à demi-mot que son premier « Mémoire sur les intégrales définies », présenté à l’Institut en août 1814, ne soit pas encore publié (il ne le sera d’ailleurs qu’en 1827), Cauchy indique dans ce mémoire que l’importance des résultats auxquels ses nouvelles méthodes conduisent l’incite à « montrer toute l’extension dont elles sont susceptibles et [à] en indiquer les principales conséquences ».

Même si le sujet d’intégrales prises entre des limites imaginaires avait été abordé dès le xviii^e siècle, Cauchy est le premier à définir avec rigueur ce concept et à en faire un outil puissant pour la résolution de nombreux problèmes. Ainsi, la « formule de Cauchy » permet de relier la valeur en un point d’une fonction à la moyenne de cette fonction le long d’un cercle entourant ce point. Sans employer encore le terme de « résidu » – qu’il remplace par la périphrase « vraie valeur de la limite du produit k f (a + k)lorsque k est un nombre infiniment petit et que f (x)devient infini quand xtend vers a » – et sans utiliser la notation moderne (a + i b) pour un nombre complexe, Cauchy montre comment appliquer ce qui est maintenant connu comme le théorème des résidus, une généralisation du théorème intégral de Cauchy au calcul de nombreuses intégrales contenant des fonctions trigonométriques. En 1826, il définira plus formellement la notion de résidu comme le coefficient de 1/ε dans un développement en séries d’une fonction f (x + ε) au voisinage d’un point x où cette fonction devient infinie. Le nom de Cauchy se trouve ainsi associé à plusieurs théorèmes importants en analyse complexe.

Le cours d’« analyse algébrique » que Cauchy donne à l’École royale polytechnique depuis 1815 et qu’il publie en 1821 contient de nombreux autres développements sur le calcul intégral et deviendra vite la référence pour les mathématiciens. Dans sa thèse, en 1851, Bernhard Riemann (1826-1866) développera la théorie des fonctions complexes et établira les équations dites de Cauchy-Riemann reliant le caractère différentiable des fonctions complexes à celui des fonctions réelles.

— Bernard PIRE