ANNEAUX & ALGÈBRES

Exemples d'anneaux et algèbres

On rencontrera des anneaux et des algèbres dans un très grand nombre d'articles mathématiques de cette encyclopédie ; nous nous contenterons donc ici de choisir quelques exemples, de manière un peu artificielle, dans des domaines variés des mathématiques pour montrer la richesse de ces structures.

Les ensembles de nombres sont des exemples très simples d'anneaux pour les opérations usuelles d'addition et de multiplication : l'ensemble Z des entiers relatifs est un anneau commutatif unitaire et les ensembles Q, R, C, des nombres rationnels, réels et complexes respectivement, sont des corps. Si A est un anneau commutatif, l'ensemble A [X₁, ..., X_n] des polynômes à n variables à coefficients dans A est un anneau commutatif ; si A = K est un corps, alors l'anneau des polynômes à coefficient dans K est une algèbre sur K.

Un exemple fondamental d'algèbre non commutative est constitué par l'algèbre L (E) des endomorphismes d'un espace vectoriel E ; si E est de dimension finie n, alors cette algèbre est isomorphe à l'algèbre des matrices carrées d'ordre n, à n lignes et n colonnes.

Comme exemple d'algèbre non associative, citons les algèbres de Lie.

Anneaux de Boole

L'exemple suivant montre le caractère un peu insolite que peuvent présenter certains anneaux. L'ensemble P (E) des parties d'un ensemble donné E est un anneau pour les opérations d'« addition » et de « multiplication » qui à deux sous-ensembles X et Y de E font correspondre les sous-ensembles :

respectivement, en désignant par X′ et Y′ les complémentaires de X et Y dans E ; l'élément nul est ici l'ensemble vide et l'élément unité est l'ensemble E tout entier. Remarquons que le « produit » de X par lui-même est égal à X car on a X ∩ X = X.

Revenons aux notations usuelles en désignant les éléments d'un anneau par des lettres minuscules. Généralisant la situation précédente, on considère des anneaux, appelés anneaux de Boole, qui possèdent la propriété que le carré de tout élément est égal à cet élément : x² = xx = x. Il en résulte que, pour tout éléme [...]

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