ANNEAUX & ALGÈBRES
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- Modifié le
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
Exemples d'anneaux et algèbres
On rencontrera des anneaux et des algèbres dans un très grand nombre d'articles mathématiques de cette encyclopédie ; nous nous contenterons donc ici de choisir quelques exemples, de manière un peu artificielle, dans des domaines variés des mathématiques pour montrer la richesse de ces structures.
Les ensembles de nombres sont des exemples très simples d'anneaux pour les opérations usuelles d'addition et de multiplication : l'ensemble Z des entiers relatifs est un anneau commutatif unitaire et les ensembles Q, R, C, des nombres rationnels, réels et complexes respectivement, sont des corps. Si A est un anneau commutatif, l'ensemble A [X1, ..., Xn]des polynômes à n variables à coefficients dans A est un anneau commutatif ; si A = K est un corps, alors l'anneau des polynômes à coefficient dans K est une algèbre sur K.
Un exemple fondamental d'algèbre non commutative est constitué par l'algèbre L (E) des endomorphismes d'un espace vectoriel E ; si E est de dimension finie n, alors cette algèbre est isomorphe à l'algèbre des matrices carrées d'ordre n, à n lignes et n colonnes.
Comme exemple d'algèbre non associative, citons les algèbres de Lie.
Anneaux de Boole
L'exemple suivant montre le caractère un peu insolite que peuvent présenter certains anneaux. L'ensemble P (E) des parties d'un ensemble donné E est un anneau pour les opérations d'« addition » et de « multiplication » qui à deux sous-ensembles X et Y de E font correspondre les sous-ensembles :
Revenons aux notations usuelles en désignant les éléments d'un anneau par des lettres minuscules. Généralisant la situation précédente, on considère des anneaux, appelés anneaux de Boole, qui possèdent la propriété que le carré de tout élément est égal à cet élément : x2 = xx = x. Il en résulte que, pour tout élément x, on a x + x = 0 ; en effet, écrivant que le produit de x + x par lui-même est égal à x + x, on obtient :
Anneaux et algèbres de fonctions
Les fonctions réelles d'une variable réelle définies dans un intervalle[a, b]de la droite réelle constituent une algèbre en convenant que la somme et le produit de deux fonctions ou le produit d'une fonction par un nombre réel λ sont les fonctions dont les valeurs en chaque point sont respectivement la somme et le produit des valeurs en ce point ou le produit par λ de la valeur de la fonction en ce point. Si on analyse les propriétés qui ont permis de munir l'ensemble précédent d'une structure d'algèbre, on constate que, de manière générale, on peut munir d'une structure d'anneau ou d'algèbre l'ensemble des applications d'un ensemble quelconque E dans un anneau ou une algèbre respectivement, les valeurs en un point x de E des fonctions somme, produit et éventuellement produit par un scalaire étant données par :
Le procédé précédent permet, bien entendu, de définir des structures d'anneaux ou d'algèbres sur de nombreux ensembles de fonctions contenus dans l'ensemble, considéré ci-dessus, de toutes les fonctions définies dans un ensemble et à valeurs dans un anneau ou une algèbre. Ainsi, les fonctions continues ou différentiables à valeurs réelles définies dans un ouvert du plan constituent des algèbres sur le corps des nombres réels. Il est clair[...]
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Pour citer cet article
Jean-Luc VERLEY. ANNEAUX & ALGÈBRES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Média
Anneaux et algèbres
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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ALGÈBRE
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 7 143 mots
L'étude des corps et des anneaux trouve son origine dans les travaux de l'école allemande du xixe siècle, principalement ceux de Kummer, Kronecker, Dedekind et Hilbert. Au départ, les motivations sont ici essentiellement la théorie des équations puis la théorie arithmétique des nombres algébriques,... -
ALGÉBRIQUES STRUCTURES
- Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
- 29 463 mots
Un anneau est un bimagma (E, l⊤, l⊥) tel que (E, l⊤) soit un groupe abélien et (E, l⊥) un demi-groupe (c'est-à-dire un magma associatif) tel que la loi de composition interne l⊥ soit distributive par rapport à la loi de composition interne l⊤, c'est-à-dire que :...
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BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE
- Écrit par Gabriel SABBAGH
- 608 mots
- 1 média
La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités)...
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BRAUER RICHARD (1901-1977)
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
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Mathématicien américain d'origine allemande dont les travaux ont porté principalement sur la théorie des groupes finis. Né à Berlin, Brauer a enseigné à l'université de Koenigsberg, à celle de Toronto (Mi.) et à l'université Harvard.
Brauer a débuté par d'importants travaux...
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