ANNEAUX & ALGÈBRES

Exemples d'anneaux et algèbres

On rencontrera des anneaux et des algèbres dans un très grand nombre d'articles mathématiques de cette encyclopédie ; nous nous contenterons donc ici de choisir quelques exemples, de manière un peu artificielle, dans des domaines variés des mathématiques pour montrer la richesse de ces structures.

Les ensembles de nombres sont des exemples très simples d'anneaux pour les opérations usuelles d'addition et de multiplication : l'ensemble Z des entiers relatifs est un anneau commutatif unitaire et les ensembles Q, R, C, des nombres rationnels, réels et complexes respectivement, sont des corps. Si A est un anneau commutatif, l'ensemble A [X₁, ..., X_n] des polynômes à n variables à coefficients dans A est un anneau commutatif ; si A = K est un corps, alors l'anneau des polynômes à coefficient dans K est une algèbre sur K.

Un exemple fondamental d'algèbre non commutative est constitué par l'algèbre L (E) des endomorphismes d'un espace vectoriel E ; si E est de dimension finie n, alors cette algèbre est isomorphe à l'algèbre des matrices carrées d'ordre n, à n lignes et n colonnes.

Comme exemple d'algèbre non associative, citons les algèbres de Lie.

Anneaux de Boole

L'exemple suivant montre le caractère un peu insolite que peuvent présenter certains anneaux. L'ensemble P (E) des parties d'un ensemble donné E est un anneau pour les opérations d'« addition » et de « multiplication » qui à deux sous-ensembles X et Y de E font correspondre les sous-ensembles :

respectivement, en désignant par X′ et Y′ les complémentaires de X et Y dans E ; l'élément nul est ici l'ensemble vide et l'élément unité est l'ensemble E tout entier. Remarquons que le « produit » de X par lui-même est égal à X car on a X ∩ X = X.

Revenons aux notations usuelles en désignant les éléments d'un anneau par des lettres minuscules. Généralisant la situation précédente, on considère des anneaux, appelés anneaux de Boole, qui possèdent la propriété que le carré de tout élément est égal à cet élément : x² = xx = x. Il en résulte que, pour tout élément x, on a x + x = 0 ; en effet, écrivant que le produit de x + x par lui-même est égal à x + x, on obtient :

d'où la conclusion. Ces anneaux sont importants en logique symbolique (algèbre des propositions) et dans la théorie des circuits électroniques (algèbre des circuits).

Anneaux et algèbres de fonctions

Les fonctions réelles d'une variable réelle définies dans un intervalle [a, b] de la droite réelle constituent une algèbre en convenant que la somme et le produit de deux fonctions ou le produit d'une fonction par un nombre réel λ sont les fonctions dont les valeurs en chaque point sont respectivement la somme et le produit des valeurs en ce point ou le produit par λ de la valeur de la fonction en ce point. Si on analyse les propriétés qui ont permis de munir l'ensemble précédent d'une structure d'algèbre, on constate que, de manière générale, on peut munir d'une structure d'anneau ou d'algèbre l'ensemble des applications d'un ensemble quelconque E dans un anneau ou une algèbre respectivement, les valeurs en un point x de E des fonctions somme, produit et éventuellement produit par un scalaire étant données par :

Le procédé précédent permet, bien entendu, de définir des structures d'anneaux ou d'algèbres sur de nombreux ensembles de fonctions contenus dans l'ensemble, considéré ci-dessus, de toutes les fonctions définies dans un ensemble et à valeurs dans un anneau ou une algèbre. Ainsi, les fonctions continues ou différentiables à valeurs réelles définies dans un ouvert du plan constituent des algèbres sur le corps des nombres réels. Il est clair qu'il est possible de multiplier à volonté les exemples de ce type.

Lorsqu'on s'intéresse à l'étude locale des fonctions au voisinage d'un point, on est conduit à introduire des anneaux et algèbres d'un type différent du précédent. Nous prendrons pour exemple l'algèbre des germes de fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et g coïncident sur un voisinage ouvert W de O contenu dans U ∩ V ; il est clair que cette relation est une relation d'équivalence ; par définition, le germe d'une fonction analytique définie dans un voisinage de O es [...]

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