ANNEAUX & ALGÈBRES

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Propriétés des anneaux et algèbres

Calcul algébrique dans les anneaux

Les règles du calcul algébrique usuel s'appliquent dans les anneaux moyennant quelques précautions dans le cas non commutatif ; par exemple, si x1, ..., xmy1, ..., yn sont des éléments d'un anneau A, le produit (x+ ... + xm) (y+ ... + yn) est égal à la somme des mn produits xiyj. Mentionnons une importante notation qui montre qu'on peut faire « opérer » l'anneau Z des entiers relatifs sur un anneau A quelconque. Si n est un entier relatif et x un élément de A, on désigne par nx la somme d'une suite de n termes égaux à x si > 0, l'élément 0 si = 0 et l'opposé de la somme de n′ = − n termes égaux à − x si <0 ; il est clair que cette notation possède les propriétés habituelles :

pour m, n dans Z et x, y dans A.

L'exemple des anneaux de Boole montre qu'il peut exister dans certains anneaux des entiers > 0 tels que n1 = 0 ; on appelle caractéristique d'un tel anneau le plus petit entier > 0 pour lequel n1 = 0 et on dit qu'un anneau est de caractéristique nulle si n1 ≠ 0 pour tout > 0. Ainsi tout anneau de Boole est de caractéristique 2, alors que l'anneau des entiers relatifs est de caractéristique nulle ; de manière générale, tout anneau de caractéristique nulle contient une infinité d'éléments (si n et m sont deux entiers relatifs distincts les éléments n1 et m1 sont distincts car (n − m) 1 ≠ 0) et par suite tout anneau ne contenant qu'un nombre fini d'éléments est de caractéristique non nulle. Pour terminer avec les notations, indiquons qu'on désigne par xn, n entier > 0, le produit d'une suite de n termes égaux à x ; il est clair que deux telles puissances de x vérifient :

Remarquons que, si x et y sont deux éléments quelconques d'un anneau A, on a :

si x et y commutent : xy yx, alors on retrouve la formule classique :
Cette situation se généralise aux identités remarquables, qui sont valables si les éléments qui y figurent commutent. Par exemple, on a :
(formule du binôme) si x et y commutent.

Puisque pour n premier tous les coefficients C1n, C2n, Cnn-1 sont des entiers divisibles pa [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « ANNEAUX & ALGÈBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-et-algebres/