ANALYSE NON STANDARD

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Une nouvelle conception du continu

D'un tout autre point de vue, l'analyse non standard a apporté un élément de philosophie des mathématiques essentiel, une nouvelle vision du continu mathématique. Avec les moyens non standards – quelle que soit la formalisation particulière que l'on utilise – il apparaît que l'on peut « identifier » le continu à un ensemble hyperfini discret de rationnels, à un réseau de rationnels dont le pas est l'inverse d'un entier infiniment grand (non standard). C'est le modèle que Harthong et Reeb ont appelé modèle du « continu-discret », soulignant le paradoxe : chacun de « nos » réels est représenté par un paquet de rationnels infiniment proches. La tentative de déployer les objets et les résultats de l'analyse dans un tel cadre engendre une tout autre manière d'habiter le continu, et de le concevoir dans sa relation à ce que les calculs informatiques montrent. De la sorte, l'analyse non standard témoigne – à côté d'autres approches comme, par exemple, celle de John Horton Conway (1937-2020) qui a défini les nombres surréels ou nombres de Conway, dont la collection excède strictement celle des nombres réels –, de ce que le continu reste, plus de deux mille ans après Aristote, le nom d'une énigme au sujet de laquelle l'humanité mathématicienne n'a pas fini d'imaginer des réponses en forme de théories.

Ainsi, l'analyse non standard, plaçant le mathématicien dans la posture stratégique du choix du cadre – arithmétique ou ensembliste – permet de retrouver l'effervescence et l'incertitude du débat du début du xxe siècle, résultant de la prise en compte simultanée des trois soucis d'efficacité dans la mathématique, de légitimation au plan des fondements et de fidélité à l'intuition du continu.

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Écrit par :

  • : professeur de philosophie des sciences, logique et épistémologie à l'université de Paris-X-Nanterre

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Pour citer l’article

Jean-Michel SALANSKIS, « ANALYSE NON STANDARD », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-non-standard/