Les séries trigonométriques se sont introduites au xviiie et au début du xixe siècle, en liaison avec certains problèmes de physique (mouvement des cordes vibrantes, propagation de la chaleur). Elles sont d'un usage courant en astronomie, en cristallographie, en optique. Mais c'est en mathématiques qu'elles ont joué le rôle le plus important.
La justification du formalisme introduit par Joseph Fourier a occupé une grande part de l'effort des analystes du xixe et même du xxe siècle. Elle a conduit au concept moderne de fonction, à la théorie de l'intégration, aux notions les plus importantes concernant la sommation des séries et enfin à une partie de l'analyse fonctionnelle moderne. Il se trouve même qu'un problème concernant les séries trigonométriques est à l'origine de la théorie des ensembles. Les séries trigonométriques constituent donc l'exemple type d'un objet mathématique introduit par les besoins de la physique et dont l'étude a conduit à l'élaboration de concepts et de théories mathématiques de grande portée.
Ce rôle, sans être aussi important qu'autrefois, n'est pas terminé, et l'article s'efforcera d'en donner une idée.
1. Notations
Les séries trigonométriques sont les séries de la forme :
Les sommes partielles s'écrivent :
Il est souvent commode de les écrire :
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 8 pages…
