SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Les séries trigonométriques se sont introduites au xviii^e et au début du xix^e siècle, en liaison avec certains problèmes de physique (mouvement des cordes vibrantes, propagation de la chaleur). Elles sont d'un usage courant en astronomie, en cristallographie, en optique. Mais c'est en mathématiques qu'elles ont joué le rôle le plus important.

La justification du formalisme introduit par Joseph Fourier a occupé une grande part de l'effort des analystes du xix^e et même du xx^e siècle. Elle a conduit au concept moderne de fonction, à la théorie de l'intégration, aux notions les plus importantes concernant la sommation des séries et enfin à une partie de l'analyse fonctionnelle moderne. Il se trouve même qu'un problème concernant les séries trigonométriques est à l'origine de la théorie des ensembles. Les séries trigonométriques constituent donc l'exemple type d'un objet mathématique introduit par les besoins de la physique et dont l'étude a conduit à l'élaboration de concepts et de théories mathématiques de grande portée.

Ce rôle, sans être aussi important qu'autrefois, n'est pas terminé, et l'article s'efforcera d'en donner une idée.

Notations

Les séries trigonométriques sont les séries de la forme :

Les sommes partielles s'écrivent :

Il est souvent commode de les écrire :

C'est sous la forme inspirée de (4) que s'écrivent le plus commodément les « séries trigonométriques généralisées » :

Dans la théorie des séries trigonométriques, on choisit généralement ω = 1 (pour la commodité de l'écriture) ou ω = 2π (parce qu'alors les termes des séries (1), (2), (4) sont invariants par le changement de t en t + 1, et qu'ainsi t peut être considéré comme une variable sur le tore T = R/Z, c'est-à-dire un nombre réel défini modulo 1). C'est ce dernier parti que nous prendrons.

Si f est une fonction, à valeurs complexes, définie sur T, c'est-à-dire une fonction périodique et de période 1, on pourra tenter de la représenter par une série trigonométrique. À cette fin, on lui associe la série (4), définie par :

On appelle formules de Fourier les séries (7) et (8) ; leurs premiers membres s'appellent «  coefficients de Fourier de f », et les séries (4), (1) ou (2) correspondantes «  séries de Fourier de f ».