4. Applications des séries trigonométriques
En mathématique, les séries trigonométriques n'ont cessé, depuis deux cents ans, de suggérer de nouveaux concepts et de nouveaux sujets d'étude. Sans occuper, dans la mathématique du xxe siècle, la place qu'elles tenaient au xixe siècle, on peut penser que leur influence n'est pas terminée.
Les méthodes fondées sur les sommes trigonométriques jouent un rôle important en théorie des nombres : problèmes de Goldbach et de Waring, répartition modulo 1. Le lien entre séries trigonométriques et séries de Taylor explique leur intérêt dans l'étude du comportement des fonctions analytiques à la frontière. Les séries trigonométriques généralisées, qui interviennent dans la théorie des fonctions presque périodiques, ont aussi été appliquées à la fonction ζ(s) de Riemann. On pourrait poursuivre la liste des exemples.
Nées avec le problème des cordes vibrantes et la théorie analytique de la chaleur, les séries trigonométriques ont conservé avec la physique un lien permanent, en particulier en optique, en astronomie et en cristallographie.
La mise en œuvre de programmes de transformées de Fourier rapides permet le traitement sur ordinateurs de données autrefois inexploitables. En un mot, les formules de Fourier, dans lesquelles les intégrales sont remplacées par des sommes finies pour se prêter au calcul, permettent le calcul de N coefficients au moyen d'un nombre d'opérations (additions, multiplications) qui est de l'ordre de N2. La « transformée de Fourier rapide » permet d'obtenir ces N coefficients au moyen de N lg N opérations. Le gain est considérable.
C'est ainsi qu'en 1970, dans certains programmes du Centre interrégional de calcul électronique (C.I.R.C.É.) à Orsay, on pouvait calculer plus d'un million de coefficients en moins de dix minutes. Ces programmes ont été utilisés particulièrement en astrophysique.
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