3. Quelques problèmes et autres développements
• La convergence des séries de Fourier
Dirichlet avait établi que la convergence des séries de Fourier avait lieu pour des fonctions monotones et continues par morceaux, Du Bois-Reymond qu'elle n'avait pas nécessairement lieu pour des fonctions continues. Le théorème de Fischer-Riesz établit, quant à lui, que les sommes partielles de la série de Fourier d'une fonction f ∈ L2 tendent vers f dans l'espace L2.
Jusqu'en 1966, on n'a pas su si la série de Fourier d'une fonction continue sur T converge nécessairement sur un ensemble non vide. À cette date, L. Carleson a montré que, pour toute f ∈ L2, la série de Fourier de f converge vers f (t ) presque partout. La réponse à la question posée est donc positive. C'est le meilleur résultat possible, dans ce sens que, étant donné un ensemble de mesure nulle sur T, il existe une fonction continue dont la série de Fourier diverge sur cet ensemble.
Le théorème de Carleson vaut en remplaçant L2 par Lp, avec p > 1 (R. Hunt, 1967). Il ne vaut pas pour L1, puisque, dès 1926, on connaissait des fonctions de L1 dont la série de Fourier diverge partout (A. N. Kolmogorov).
Essentiellement, pour les séries de Fourier à une variable, le problème de la convergence se trouve résolu avec les travaux de Carleson et Hunt.
Pour les séries de Fourier à plusieurs variables du type (6), avec k ≥ 2, il faut définir ce qu'on appelle les sommes partielles avant de poser le problème de la convergence. Si l'on prend les sommes partielles « cubiques », définies comme la somme des termes pour lesquels :
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