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SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

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2.  Aperçu historique

Quoique certaines sommes de séries trigonométriques aient déjà été calculées par L. Euler (cf. analyse harmonique), on peut considérer que l'histoire des séries trigonométriques remonte à la solution, donnée par D. Bernoulli, du problème des cordes vibrantes. Le problème est de calculer le mouvement d'une corde, de longueur l, fixée en ses extrémités, et qui est soit écartée de sa position d'équilibre et lâchée (corde de guitare), soit frappée de façon à lui imprimer, en ses différents points, des vitesses de déplacement latéral (corde de piano).

L'équation des cordes vibrantes, qui concerne le déplacement latéral y(x, t ) (supposé petit) au temps t du point x de la corde, est :

les conditions initiales imposent :
et respectivement :
pour la corde pincée, et :
pour la corde frappée. D'Alembert et Euler avaient découvert la solution générale, sous la forme :
où f est une fonction périodique et de période 2 l qui, dans le premier cas, est impaire et égale à ϕ/2 sur [0, l] et, dans le second cas, est paire et primitive de ψ/2 ω sur [0, l]. Pour des raisons physiques évidentes, D. Bernoulli pensait pouvoir écrire la solution sous la forme d'une série d'harmoniques solutions de l'équation des cordes vibrantes, c'est-à-dire :

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