Lorsqu'on fait vibrer, dans des conditions idéales, une corde de longueur l, fixée en ses extrémités d'abscisses 0 et l, l'équation aux dérivées partielles :
est vérifiée, où
u(
x,
t) est une fonction dont la valeur représente, à l'instant
t, le déplacement transversal, par rapport à la position d'équilibre, du point d'abscisse
x.
D'Alembert donne, en 1747, la solution de cette équation sous la forme :
où
f est une fonction quelconque de période 2
l. Quelques années plus tard, en 1753, Daniel Bernoulli considère des solutions particulières de l'équation des cordes vibrantes, de la forme :
pour toute valeur entière positive de
n. Ces solutions correspondent aux fonctions
f de la forme :
Or les fonctions trigonométriques :
sont les plus simples des fonctions de période 2
l. D'où l'idée, avancée par Bernoulli, que la fonction
f la plus générale, qui intervient dans la solution de d'Alembert, peut s'exprimer sous la forme d'une série trigonométrique :
ou, de manière équivalente :
Le terme correspondant à n = 1 donne alors la vibration fondamentale de la corde, les termes suivants correspondent aux harmoniques (cela rejoint l'expérience acoustique courante) ; de plus, le coefficient αn régit l'intensité de l'harmonique d'ordre n, et βn en définit la phase.
Ainsi le problè […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 8 pages…
