2. Le formalisme algébrique
• La syntaxe des formules algébriques
Les langues naturelles doivent leur structure syntactique à un amas chaotique de moyens de flexion, de subordination, de conjonction, de ponctuation, de mélodie et de rythme. Mais, très souvent, la structure syntactique s'explique par le sens et non par des critères formels. « Mathématique et langue française » et « langue et littérature françaises » ont la même structure formelle, mais le sens indique des structures syntactiques différentes.
Dans le langage des expressions algébriques, on s'efforce d'exprimer complètement la structure par des moyens formels, dont les plus importants sont les parenthèses, crochets et accolades : (a + b).c est aussi plein de sens que a + b.c, et on a besoin de pouvoir les distinguer.
Le système des règles pour la succession des opérations est plus compliqué qu'on ne pense et que ne le veulent certains vers mnémotechniques. Pour des sommes algébriques telles que :
Ce principe de l'ordre linéaire est si naturel que, avant l'usage de parenthèses, on structurait des expressions algébriques au moyen de déviations par rapport à l'ordre linéaire. Par exemple, Descartes écrit (Œuvres, édition Adam et Tannery, vol. VI, p. 415) :
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