Pour connaître une langue naturelle, il n'est pas nécessaire d'en apprendre l'histoire ni, pour comprendre sa littérature, de faire l'étude historique de la grammaire et du vocabulaire. À cet égard, le langage mathématique, en raison de son caractère plutôt artificiel, se présente bien différemment. Alors que l'accord qui est à la base d'une langue naturelle n'a jamais été exprimé explicitement, les conventions du langage mathématique l'ont toujours été. Cet état conventionnel du langage mathématique permet des manipulations qui ont parfois conduit à des changements fondamentaux et même brusques. Si, sous le terme de formalisation, la manipulation consciente du langage mathématique est devenue de nos jours une activité mathématique importante, elle est, à vrai dire, aussi ancienne que la mathématique elle-même. L'histoire des notations mathématiques montre une foule de tentatives, dont la plupart n'ont influencé le développement de cette science que par la démonstration de leur insuffisance. Si l'on rappelle dans cet article l'histoire des notations, c'est pour expliquer l'état présent des choses et justifier les différents choix qui y ont conduit. On ne mentionnera guère les tentatives qui ont été désavouées par l'histoire. D'autre part, on donnera au concept de notation mathématique une interprétation plus vaste que celle contenue dans les exposés traditionnels. Ce ne sont pas seulement les nombres, les variables, les fonctions, les êtres géométriques qui demandent une expression linguistique, mais aussi les propositions, les questions, les raisonnements, qui sont exprimés dans un langage naturel, manipulé ou totalement formalisé. Ces habitudes de notation qui caractérisent le style mathématique, quoique plus intéressantes que le système des symboles isolés, n'ont pas, à ce jour, été suffisamment étudiées.
1. L'arithmétique élémentaire
• Les nombres naturels
En dehors des plus primitives, toutes les langues connaissent un système de mots numéraux pour désigner les premier […]
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