3. Les fonctions
L'emploi mathématique du terme de fonction date de la correspondance de Leibniz avec Johann Bernoulli. Les auteurs sont conscients du fait que, parmi quelques variables, l'une peut être une fonction de l'autre et ils rendent, s'il est possible, cette dépendance explicite ; mais des signes de fonction y sont très rares (Johann Bernoulli, 1718 : ϕx, ϕ fonction de x). Cela change avec Euler et J. d'Alembert ; Euler établit la préférence pour f, F, ϕ, Φ en tant que symboles de fonction et Lagrange propage l'emploi de ces signes.
La notation des fonctions a subi des changements profonds depuis 1930 environ, bien qu'il y ait des précurseurs dès le début du siècle et que des conservateurs ne se soient pas encore convertis au nouveau style. Dans l'analyse pratiquée avant 1930, il était usuel de désigner une fonction par f(x), c'est-à-dire avec un argument explicite. Le nouveau style fut suggéré par l'analyse fonctionnelle. Tant que l'on ne considère qu'une seule fonction ou un nombre fini de fonctions, il importe peu qu'une fonction soit désignée par f ou par f(x). Mais de quelle manière devrait-on exprimer le fait qu'une fonction appartient à un ensemble A ? La notation f(x) ∈ A est décidément fausse ; elle stipule l'appartenance des valeurs de la fonction à A ; on doit dire f ∈ A. De quelle manière doit-on exprimer le fait qu'une fonction est transformée en une autre par une transformation fonctionnelle ?
Comment indiquer la translation de la variable dans une fonction ?
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