Mathématiques: thèmes généraux

Articles

ART & MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Georges CHARBONNIER

Il semble bien que l'activité mathématique a toujours sous-tendu la création artistique, tout d'abord en ignorance de cause, puis intuitivement, enfin consciemment. Et, plus directement encore, à des fins heuristiques. Dès les premiers essais de représentation de l'animal et du corps humain, l'homme a été aux prises avec l'idée simple de symétrie. ...  Lire la suite

CALCUL, mathématique

Écrit par :  Philippe FLAJOLET

C'est par l'utilisation de petits cailloux (caillou se dit en latin calculus) que les jeunes Romains apprenaient à compter. Le calcul est, à l'origine, étroitement associé à la notion de nombre entier et de nombre rationnel. Étant donné un mode de représentation concret des nombres – Babyloniens, Égyptiens, Grecs, Romains, Indiens ou Chin ...  Lire la suite

COMPLEXITÉ, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

Au cœur de l'informatique théorique, la théorie du calcul –  ou théorie de la calculabilité – née dans la décennie 1930 des travaux de Kurt Gödel (1906-1978), Alan Turing (1912-1954) et Alonzo Church (1903-1995), répond à des questions sur ce qui est faisable dans l'absolu par le calcul avec un ordinateur. Elle énonce des résultats négatifs du type ...  Lire la suite

CONSTRUCTIVISME, mathématique

Écrit par :  Jacques-Paul DUBUCS

Le constructivisme est une philosophie des mathématiques définie par deux composantes. Au plan ontologique, le constructiviste considère les objets mathématiques, non comme existant « par eux-mêmes », mais comme le résultat des constructions mentales du mathématicien. Au plan méthodologique, il insiste sur l'importance des preuves dites « construc ...  Lire la suite

CONVENTIONNALISME, mathématique

Écrit par :  Gerhard HEINZMANN

Selon Kant, les jugements mathématiques ne sont ni analytiques et nécessaires, ni synthétiques et contingents. Ils sont synthétiques et a priori. Le conventionnalisme mathématique est une conception philosophique qui abandonne le caractère synthétique a priori des jugements géométriques. En effet, l'existence de plusieurs géométries possibles met ...  Lire la suite

ERREUR

Écrit par :  Bertrand SAINT-SERNIN

Dans le chapitre L'erreur en mathématiquesL'idée de présenter les théories d'une manière date des Grecs, et les Éléments d'Euclide ont constitué à cet égard un modèle pendant plus de deux millénaires. En fait, on s'est aperçu, au cours des siècles, que les figures jouaient un rôle équivoque dans certaines démonstrations, et on s'est efforcé de dissocier les représentations empiri ...  Lire la suite

FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

Écrit par :  Jacques-Paul DUBUCS

Le finitisme est un point de vue sur les fondements des mathématiques essentiellement défendu par le mathématicien David Hilbert (1862-1943) dans les années 1920, et particulièrement développé dans „Sur l'infini“, son célèbre article de 1925. Le principe fondamental du finitisme consiste à mettre en avant un domaine d'énoncés et de méthodes – just ...  Lire la suite

FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique pouvant recueillir un soutien unanime (alors que ...  Lire la suite

FORMALISME

Écrit par :  Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY

Au sens moderne la formalisation est la présentation des théories scientifiques – et, en premier lieu sinon exclusivement, des mathématiques – dans le cadre d'un système formel, permettant de caractériser sans ambiguïté les expressions du langage et les règles de démonstration recevables. On aurait tort de considérer pour autant que l'imp ...  Lire la suite

IDÉALISME

Écrit par :  Jean LARGEAULT

Dans le chapitre Les mathématiques et l'idéalismeLa réalité mathématique se présente sous trois aspects : entités, conceptions abstraites, symboles. Privilégier l'un de ces aspects à l'exclusion des autres donne à chaque fois une philosophie des mathématiques : platonisme ou réalisme, constructivisme, formalisme. L'attitude constructiviste, représentée par les intuitionnistes qui se rangent du c ...  Lire la suite

Dans le chapitre La logique et l'idéalismeIl est probable que l'idéalisme se sépare du réalisme en accordant au la primauté sur le concept. Ce sont les concepts qui ont d'abord la charge de l'import ontologique. Admettre que le jugement définit des concepts, ou que les concepts dérivent des jugements, équivaut à définir les concepts au moyen des relations ; alors ils dépendent directement ...  Lire la suite

INFORMATIQUE ET VÉRITÉ MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

« Tel nombre est premier », « tels graphes sont isomorphes », « telle classification est complète », etc. Traditionnellement, en mathématiques, la certitude concernant de telles affirmations formelles ne peut résulter que d'une démonstration. La pratique, cependant, semble remettre en question certaines des idées communément admises en la matière. ...  Lire la suite

INTUITIONNISME

Écrit par :  Jacques-Paul DUBUCS

Dans l'acception technique et contemporaine du mot, c'est-à-dire quand le terme ne se contente pas de caractériser une philosophie faisant à l'intuition une large part, l'intuitionnisme est à la fois une doctrine relative aux mathématiques, à la vérité et au langage, et une logique « non classique » qui trouve son fondement dans cette doctrine. La ...  Lire la suite

INVARIANT, mathématique

Écrit par :  Nicole BERLINE

À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax² + 2bxy + cy² + 2ux + 2vy + w = 0. Comment reconnaî ...  Lire la suite

ITÉRATION, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE, Universalis

Itérer signifie recommencer, faire à nouveau. Construire les nombres entiers peut être vu comme l'opération consistant à partir de zéro à itérer indéfiniment l'ajout d'une unité. Plus généralement, en mathématiques, lorsqu'une fonction ou opération est disponible, il est fréquent d'en envisager l'itération, celle-ci conduisant soit à de nouvelles ...  Lire la suite

KOLMOGOROV THÉORIE DE LA COMPLEXITÉ DE

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

La théorie de la complexité de Kolmogorov d'une suite numérique S est définie comme la taille, K(S), du plus court programme P qui, confié à une machine universelle (tout ordinateur contemporain en est une), produit la suite S. Cette notion est séduisante car elle synthétise en un seul nombre plusieurs mesures de complexité dont celle que propose ...  Lire la suite

LE PROBLÈME DES OBJETS DANS LA PENSÉE MATHÉMATIQUE (M. Caveing)

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

Qu'est-ce qu'un « objet mathématique » ? Depuis l'Antiquité, cette importante question d'épistémologie mathématique et quelques autres qui lui sont liées (les objets mathématiques ont-ils une existence propre, préalable à tout travail mathématique, ou non ? sont-ils découverts ou inventés ?) sont débattues. Maurice Caveing, directeur de recherche ...  Lire la suite

MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

La mathématique est une science hypothético-déductive qui, en développant un langage autonome, élabore et étudie des notions abstraites liées les unes aux autres et souvent capables de fournir des modèles et des processus opératoires permettant de mieux comprendre de nombreux aspects du monde observable, en particulier lorsque peuvent être invoqué ...  Lire la suite

MATHÉMATIQUE ÉPISTÉMOLOGIE DE LA

Écrit par :  Jean-Michel SALANSKIS

Certes, l'épistémologie se distingue de toutes les réflexions d'ordre éthique ou politique qui interrogent la science et entendent contribuer à la réponse individuelle et collective à la question pratique « Que faire de la science ? ». Elle ne prétend pas travailler à la constitution d'une « conscience » de la science. Mais, en mathématique comme ...  Lire la suite

MODÈLE

Écrit par :  Raymond BOUDON, Hubert DAMISCH, Jean GOGUEL, Sylvanie GUINAND, Bernard JAULIN, Noël MOULOUD, Jean-François RICHARD, Bernard VICTORRI

Dans le chapitre Le modèle mathématiqueOn sait, notamment depuis Cantor et Zermelo, que la plupart des notions de la mathématique peuvent être explicitées dans le cadre d'une théorie du premier ordre dont les axiomes affirment l'existence de certains objets appelés « ensembles » (cf. théorie élémentaire desensembles). La réduction à laquelle il est fait allusion signifie, entr ...  Lire la suite

NOMINALISME, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

Le nominalisme dans son sens traditionnel est le refus de considérer qu'il existe des entités abstraites (les universaux). Très brièvement : les entités abstraites aident l'esprit à se repérer dans le monde et permettent la communication entre les hommes, mais fondamentalement elles sont illusoires. Depuis Guillaume d'Ockham (1290 env.-env. 1349), ...  Lire la suite

NOTATION MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Hans FREUDENTHAL

Pour connaître une langue naturelle, il n'est pas nécessaire d'en apprendre l'histoire ni, pour comprendre sa littérature, de faire l'étude historique de la grammaire et du vocabulaire. À cet égard, le langage mathématique, en raison de son caractère plutôt artificiel, se présente bien différemment. Alors que l'accord qui est à la base d'une langu ...  Lire la suite

OBJET

Écrit par :  Gilles Gaston GRANGER

Dans le chapitre Les objets mathématiquesLes objets mathématiques ont bien évidemment des propriétés, un contenu, qui les différencie non en tant qu'individus réalisés hic et nunc, mais en tant que concepts déterminés, car ils ne sont pas saisissables comme tels dans une expérience sensible. Les philosophes ont pris à leur égard des positions très variées, qu'on peut cependant répartir e ...  Lire la suite

OBJET MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Patrick DEHORNOY

Le but des mathématiques est de démontrer des résultats non triviaux sur ce qu'on peut appeler globalement des objets mathématiques. Il en existe de nombreux types : nombres entiers, nombres réels, points, droites ou courbes de la géométrie, suites, séries et fonctions de l'analyse, ensembles divers, ensembles d'ensembles, etc. Les objets mathémat ...  Lire la suite

OBJET UNIVERSEL, mathématique

Écrit par :  Patrick DEHORNOY

Des objets universels apparaissent dans de multiples contextes mathématiques, mais l'idée de base est commune : un objet universel est un objet à partir duquel tous les autres membres de la famille considérée peuvent se reconstruire. Par conséquent, un objet universel est, quand il existe, le plus grand, le plus général de la famille. L'existence ...  Lire la suite

PHÉNOMÉNOLOGIE, mathématique

Écrit par :  Jean-Michel SALANSKIS

La phénoménologie, courant majeur de la philosophie au xx^e siècle, a donné lieu à un regard sur les mathématiques, non seulement parce que, philosophie absolument générale, elle ne jugeait rien comme étranger à sa compétence, mais aussi parce que le fondateur du courant, Edmund Husserl (1859-1938), fut d'abord mathématicien et ...  Lire la suite

PHYSIQUE - Physique et mathématique

Écrit par :  Jean-Marc LÉVY-LEBLOND

L'existence d'une relation particulière entre la physique et les mathématiques est universellement reconnue. Les témoignages explicites en abondent à travers toute l'histoire de la physique, à commencer par la célèbre assertion de Galilée : « La philosophie est écrite dans ce livre immense perpétuellement ouvert devant nos yeux (je veux dire : l'U ...  Lire la suite

PRÉDICATIVISME, mathématique

Écrit par :  Philippe de ROUILHAN

Doctrine selon laquelle certaines définitions naïvement reçues de la logique ou des mathématiques classiques recèlent une certaine sorte de circularité qu'on retrouve à l'origine de tous les grands paradoxes et qui, même quand elle n'y conduit pas, devrait être interdite. Le principe de cette interdiction est le « principe du cercle vicieux » (PCV ...  Lire la suite

QUASI-EMPIRISME, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

La statue du portail royal de la cathédrale de Chartres, qui représente Euclide avec des instruments en main, montre clairement que, dans l'esprit des artistes et artisans du Moyen Âge, le mathématicien géomètre possède des outils et élabore son savoir en les utilisant, c'est-à-dire en se confrontant au monde réel. Pourtant, l'idée que les mathéma ...  Lire la suite

RÉALISME, mathématique

Écrit par :  Hourya BENIS-SINACEUR

Le réalisme affirme l'existence, indépendante et préalable à la connaissance que nous en avons, des entités mathématiques : nombres, figures, ensembles, fonctions, variétés, etc. Pour le réaliste, le mathématicien manipule des objets bien déterminés qui défient son intelligence. Connaître n'est pas inventer, mais découvrir des él ...  Lire la suite

STRUCTURALISME, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

Concernant les mathématiques, deux « doctrines » assez différentes portent le nom de structuralisme. D'une part, le mot désigne une façon d'envisager l'organisation du champ des mathématiques autour des structures comme le sont les groupes, les ensembles ordonnés, les espaces topologiques, etc. Cette vision a été défendue en France par Ni ...  Lire la suite

VÉRITÉ, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

Assez paradoxalement, la notion de vérité mathématique est délicate du point de vue du philosophe et peu problématique dans le travail quotidien du mathématicien. Comprendre cette opposition est crucial pour se faire une idée juste des mathématiques contemporaines. Une multitude d'attitudes sont possibles vis-à-vis du sens à donner aux énoncés mat ...  Lire la suite