5. Le style mathématique
On a déjà parlé des différences de style entre les langues naturelles et la langue de la mathématique à l'occasion des ponctuations et des variables. Une autre divergence s'est développée depuis un siècle dans le style des liaisons de variables, en particulier dans l'indication des quantificateurs. S'il est vrai qu'on connaissait dès la logique d'Aristote les quantificateurs universel (tous) et existentiel (quelques), ceux-ci ne s'appliquaient qu'aux prédicats à un seul sujet, non aux relations qui contiennent plusieurs sujets. Au cours du développement d'une mathématique plus conceptuelle, les structures logiques des notions devinrent de plus en plus compliquées, et le degré de complication s'exprimait dans le nombre de quantificateurs successifs et alternants. Un concept paradigmatique au moyen duquel les mathématiciens apprenaient à créer des outils linguistiques utiles est celui de la continuité. À des changements infinitésimaux de x correspondent des changements infinitésimaux de y, dit Cauchy, pour formuler que, si x change peu, alors y change peu. Ce sont des « peu » différents ; le premier devrait être précisé par un adverbe « suffisamment », le second par « arbitrairement », c'est-à-dire que le premier cache un quantificateur existentiel et le second un quantificateur universel. Même cette précision ne nous suffit plus ; on demande aujourd'hui non seulement des quantificateurs explicites et non cachés, mais aussi l'indication explicite de leur ordre de succession. Les langues naturelles peuvent se permettre les mêmes moyens linguistiques pour indiquer les quantifications différentes : dans « une voiture coûte de l'argent » et « j'ai une voiture », une est, dans un cas, un quantificateur universel et, dans l'autre, un quantificateur existentiel ; de même, dans « qui trop embrasse, mal étreint », trop cache un quantificateur existentiel et mal un quantificateur universel. Les mathématiciens ne peuvent plus se permettre de telles libertés, et c'est la raison pour laquelle ils ont […]
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