Algèbre

Articles

AFFINE APPLICATION

Écrit par :  Jacques MEYER

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ i ≤ k ...  Lire la suite

ALGÈBRE

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

L'algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xix^e siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques et la préoccupation croissante des mathématiciens de « su ...  Lire la suite

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

L'algèbre s'appuie sur les structures algébriques, comme la topologie et l'analyse s'appuient sur les structures topologiques, leurs rencontres générant la topologie algébrique, la géométrie algébrique, etc. Avant de passer en revue, sans aucune démonstration mais dans un ordre logique, les principales structures algébriques, nous tenterons une pr ...  Lire la suite

ANNEAUX & ALGÈBRES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Définis par des axiomes qui dégagent les les propriétés usuelles des opérations d'addition et de multiplication dans les ensembles de nombres ou les polynômes, les anneaux constituent le cadre général dans lequel on peut appliquer les règles du calcul algébrique élémentaire. Nous donnerons dans cet article les définitions générales et des exemples ...  Lire la suite

ANNEAUX COMMUTATIFS

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans tout ce qui suit, on se bornera à considérer des anneaux commutatifs unitaires, c'est-à-dire possédant un élément unité pour la multiplication, noté 1. Les définitions sont celles de l'article suivant, anneaux et algèbres. De nombreux cas particuliers d'anneaux commutatifs unitaires ont été étudiés au xix^e siècle, ...  Lire la suite

BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités) et en logique mathématique (logique algébrique, modèles booléens).  ...  Lire la suite

CATÉGORIES & FONCTEURS

Écrit par :  Jean BÉNABOU

Introduite en 1945 par Eilenberg et MacLane pour rendre compte de propriétés très générales des structures mathématiques, la théorie des catégories a quelque peu pâti, à ses débuts, de cette généralité qui lui valut auprès des « mathématiciens sérieux » l'appellation de « Abstract Nonsense ». Dès 1952 cependant, en définissant les théories de l'ho ...  Lire la suite

CORPS, mathématiques

Écrit par :  Robert GERGONDEY, Universalis

La structure de corps n'est en fait qu'un cas particulier de la structure plus générale d'anneau ; en plus des axiomes généraux, on stipule que le groupe multiplicatif des éléments inversibles est le complémentaire de 0. Les corps sont donc les domaines dans lesquels les opérations habituelles du calcul sont valables, y compris la division par un ...  Lire la suite

COURBES ALGÉBRIQUES

Écrit par :  Luc GAUTHIER

En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R² des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se trouvaient ainsi remplacées par une représentation paramét ...  Lire la suite

ÉQUATION, mathématique

Écrit par :  Gilles LACHAUD

Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme A = B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème, qui consiste à pos ...  Lire la suite

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Écrit par :  Jean ITARD

Dès la plus haute antiquité, on rencontre, à l'occasion de problèmes concrets, des exemples de résolution d'équations du premier et du second degré, et, jusqu'au début du xix^e siècle, l'étude des équations constitue l'unique préoccupation des algébristes. Le développement de la théorie est étroitement lié aux extensions success ...  Lire la suite

GÉNÉRATEUR, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène, ou encore posséder un générateur a, si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à a. Par définition d'un produit p ...  Lire la suite

GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

Écrit par :  Christian HOUZEL

Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l'algèbre relativement récente (cf. algèbre, dedekind). Pour « comprendre » les phénomènes d'intersection des courbes et des surfaces, il s'est révélé nécessaire d'élaborer des techniques compliquées qui se sont développées de manière abstraite et sont venues à le ...  Lire la suite

GROUPES DE GALOIS

Écrit par :  Bernard PIRE

L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est maintenant universellement re ...  Lire la suite

GROUPES (mathématiques)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples ornements géométriques imaginés par les ar ...  Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Généralités

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi ailleurs, notamment en cristallographie, ...  Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la géométrie algébrique et ...  Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles et la géométrie différentielle. Leur étude générale a mis plus ...  Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

Écrit par :  Everett DADE

Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de leurs élèves vers le commencement du xx^e ...  Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

Écrit par :  Everett DADE

Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux class ...  Lire la suite

LIE GROUPES DE

Écrit par :  Bernard PIRE

La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen, de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux résultats obtenus à partir de 1873 sur les group ...  Lire la suite

LINÉAIRE ALGÈBRE

Écrit par :  Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT

L'algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu'on la trouvera présentée ici, s'est progressivement dégagée, au cours du xix^e siècle et au début du xx^e, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à p inconnues, équations différentielles et intégrales linéa ...  Lire la suite

NORMÉES ALGÈBRES

Écrit par :  Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR

Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. M. Gelfand, M. A. Naimark, D. A. Raikov, G. E. Šylov), l ...  Lire la suite

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

Écrit par :  Robert ROLLAND, Jean-Luc VERLEY

L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xx^e siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des formes quadratiques à une infinité de v ...  Lire la suite

NOTATION MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Hans FREUDENTHAL

Dans le chapitre Le formalisme algébriqueLes langues naturelles doivent leur structure syntactique à un amas chaotique de moyens de flexion, de subordination, de conjonction, de ponctuation, de mélodie et de rythme. Mais, très souvent, la structure syntactique s'explique par le sens et non par des critères formels. « Mathématique et langue française » et « langue et littérature française ...  Lire la suite

OPÉRATION, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

Une définition formelle du concept d'application est la suivante : une application f d'un ensemble A dans un ensemble B est une partie du produit cartésien A × B [c'est-à-dire des couples (x, y) où x décrit A et y décrit B], telle que, pour tout élément a de A, il existe un b et un seu ...  Lire la suite

POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Écrit par :  Jean Paul DUFOUR

Dans le chapitre Algébroïdes de LieUn algébroïde de Lie consiste en la donnée de trois objets : un fibré vectoriel A sur une variété M (cf. chap. 13, Appendice), une structure d'algèbre de Lie réelle [ , ] sur l'ensemble des sections Γ(A) de ce fibré et un morphisme de fibrés vectoriels ♯ de A dans T(M) ; on im ...  Lire la suite

POLYNÔMES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

La théorie des équations et des polynômes a été le propos essentiel de l'algèbre jusqu'au xix^e siècle (cf. équations algébriques, algèbre) et est à la base de la théorie des corps et de la théorie des nombres algébriques. Nous nous sommes limités ici à une construction formelle des objets mathématiques considé ...  Lire la suite

PROJECTIVES APPLICATIONS

Écrit par :  Jacques MEYER

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K, P(E) et P(F) les espaces projectifs déduits de E et de F, f une application linéaire de E dans F et N = ker (f) le noyau de f. Comme l'image par f d'une droite de E non contenue dans N est une droite de F, la restriction de  ...  Lire la suite

QUADRATIQUES FORMES

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse fonctionnelle (équations différentielles, aux dérivé ...  Lire la suite

RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)

Écrit par :  Bernard PIRE

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage appuyé aux travaux des fondat ...  Lire la suite

TOPOLOGIE - Topologie algébrique

Écrit par :  Claude MORLET

Dans le chapitre Algèbre homologiqueConsidérons une famille (Mn), avec n ∈ Z, de A modules et, pour tout n, une application dn de Mn dans Mn+ε, où ε est un entier en général égal à + 1 ou à − 1. Si, pour tout n, on a : on dit que  ...  Lire la suite