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Algèbre

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Articles

AFFINE APPLICATION

Écrit par :  Jacques MEYER

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λ ...  Lire la suite
ALGÈBRE

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

L'algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xixe siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques et la préoccupation croissante ...  Lire la suite
ALGÈBRE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L' ou THÉORÈME DE D'ALEMBERT

Écrit par :  Bernard PIRE

Jean Robert Argand, comptable à Paris, était un mathématicien amateur qui avait gagné une solide réputation scientifique en publiant en 1806 (à ses frais et sans que son nom apparaisse sur la couverture) un petit livre où il développait une représentation géométrique des nombres complexes . Huit ans plus tard, il en tire une preuve remarquable de ...  Lire la suite
ALGÉBRIQUES STRUCTURES

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

L' algèbre s'appuie sur les structures algébriques, comme la topologie et l'analyse s'appuient sur les structures topologiques, leurs rencontres générant la topologie algébrique, la géométrie algébrique, etc. Avant de passer en revue, sans aucune démonstration mais dans un ordre logique , les principales structures algébriques, nous tenterons ...  Lire la suite
ANNEAUX & ALGÈBRES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Définis par des axiomes qui dégagent les les propriétés usuelles des opérations d'addition et de multiplication dans les ensembles de nombres ou les polynômes , les anneaux constituent le cadre général dans lequel on peut appliquer les règles du calcul algébrique élémentaire. Nous donnerons dans cet article les définitions générales et des ...  Lire la suite
ANNEAUX COMMUTATIFS

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans tout ce qui suit, on se bornera à considérer des anneaux commutatifs unitaires, c'est-à-dire possédant un élément unité pour la multiplication, noté 1. Les définitions sont celles de l'article suivant, anneaux et algèbres . De nombreux cas particuliers d'anneaux commutatifs unitaires ont été étudiés au ...  Lire la suite
BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

La notion d' algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique , joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés , calcul des probabilités) et en logique mathématique (logique algébrique, modèles booléens). ...  Lire la suite
CORPS, mathématiques

Écrit par :  Universalis, Robert GERGONDEY

La structure de corps n'est en fait qu'un cas particulier de la structure plus générale d'anneau ; en plus des axiomes généraux, on stipule que le groupe multiplicatif des éléments inversibles est le complémentaire de 0. Les corps sont donc les domaines dans lesquels les opérations habituelles du calcul sont valables, y compris la division par un ...  Lire la suite
COURBES ALGÉBRIQUES

Écrit par :  Luc GAUTHIER

En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R2 des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se trouvaient ainsi remplacées par ...  Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la géométrie algébrique et ...  Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

La théorie des groupes de Lie , fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie , a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles , les équations aux dérivées partielles et la géométrie différentielle. Leur étude générale a mis ...  Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

Écrit par :  Everett DADE

Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan . Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de leurs élèves vers le commencement du ...  Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Généralités

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi ailleurs, notamment en cristallographie, ...  Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

Écrit par :  Everett DADE

Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux ...  Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Vue d'ensemble

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples ...  Lire la suite
GROUPES DE GALOIS

Écrit par :  Bernard PIRE

L'unique mémoire d' Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est maintenant ...  Lire la suite
GÉNÉRATEUR, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène, ou encore posséder un générateur a, si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à ...  Lire la suite
GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

Écrit par :  Christian HOUZEL

Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l'algèbre relativement récente (cf. algèbre , dedekind ). Pour « comprendre » les phénomènes d'intersection des courbes et des surfaces, il s'est révélé nécessaire d'élaborer des techniques compliquées qui se sont développées de ...  Lire la suite
LIE GROUPES DE

Écrit par :  Bernard PIRE

La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen, de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux résultats obtenus à partir de 1873 ...  Lire la suite
LINÉAIRE ALGÈBRE

Écrit par :  Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT

L'algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu'on la trouvera présentée ici, s'est progressivement dégagée, au cours du xixe siècle et au début du xxe, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à ...  Lire la suite
NORMÉES ALGÈBRES

Écrit par :  Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR

Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l' analyse mathématique . Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. M. Gelfand, M. A. Naimark, D. A. Raikov, G. E. Šylov), ...  Lire la suite
NORMÉS ESPACES VECTORIELS

Écrit par :  Robert ROLLAND, Jean-Luc VERLEY

L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xxe siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales . Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des formes ...  Lire la suite
NOTATION MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Hans FREUDENTHAL

Dans le chapitre Le formalisme algébrique Le formalisme algébrique ...  Lire la suite

OPÉRATION, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

Une définition formelle du concept d'application est la suivante : une application f d'un ensemble A dans un ensemble B est une partie du produit cartésien A × B [c'est-à-dire des couples (xy) où x décrit A et y décrit B], telle que, pour tout ...  Lire la suite
POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Écrit par :  Jean Paul DUFOUR

Dans le chapitre Algébroïdes de Lie Algébroïdes de Lie ...  Lire la suite

POLYNÔMES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

La théorie des équations et des polynômes a été le propos essentiel de l'algèbre jusqu'au xixe siècle (cf. équations algébriques , algèbre ) et est à la base de la théorie des corps et de la théorie des nombres algébriques. Nous nous sommes limités ici à ...  Lire la suite
PROJECTIVES APPLICATIONS

Écrit par :  Jacques MEYER

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K, P(E) et P(F) les espaces projectifs déduits de E et de F, f une application linéaire de E dans F et N = ker (f) le noyau de f. Comme l'image par f d'une ...  Lire la suite
QUADRATIQUES FORMES

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse fonctionnelle (équations différentielles, aux ...  Lire la suite
RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)

Écrit par :  Bernard PIRE

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage appuyé ...  Lire la suite
TOPOLOGIE - Topologie algébrique

Écrit par :  Claude MORLET

Dans le chapitre Algèbre homologique Algèbre homologique ...  Lire la suite

WEIL (TROISIÈME CONJECTURE DE)

Écrit par :  Bernard PIRE

Après sa thèse soutenue en 1968 à l'Université libre de Bruxelles, le mathématicien belge Pierre Deligne a effectué la première partie de sa carrière à l'Institut des hautes études scientifiques (I.H.E.S.) de Bures-sur-Yvette (Essonne) ; il y travaillait notamment sous la direction du mathématicien Alexandre Grothendieck. C'est là qu'en 1973 il ...  Lire la suite
ÉQUATION, mathématique

Écrit par :  Gilles LACHAUD

Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, ...  Lire la suite
ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Écrit par :  Jean ITARD

Dès la plus haute antiquité, on rencontre, à l'occasion de problèmes concrets, des exemples de résolution d'équations du premier et du second degré, et, jusqu'au début du xixe siècle, l'étude des équations constitue l'unique préoccupation des algébristes. Le développement de la théorie est ...  Lire la suite

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