L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des événements que les équations linéaires ne peuvent pas prendre en compte. Inversement, on peut dire que c'est l'existence de ces phénomènes nouveaux – apparition de chocs ou de singularités, comportement asymptotique profondément différent de celui des problèmes linéaires – qui rend la théorie difficile et qui conduit à faire appel à un arsenal mathématique très vaste. L'interaction avec le reste de la mathématique se fait aussi en sens inverse, car un certain nombre de problèmes abstraits se traitent à l'aide d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Les liens avec l'analyse numérique sont continuels, et s'effectuent dans les deux sens. D'une part, on utilise l'analyse des équations aux dérivées partielles non linéaires pour construire des algorithmes numériques utilisés de plus en plus systématiquement. D'autre part, on se sert de l'ordi [… ]
Autres références
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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)
Auteurs :
Claude BARDOS, Martin ZERNER
Les équationsaux dérivées partielles sont sans doute le domaine des mathématiques où le lien avec la physique est le plus étroit. Il ne s'agit pas seulement du fait que les recherches les plus actives, et en général les plus importantes, ont été motivées par des questions de physique. Il s'agit aussi, et surtout, du fait que les idées ap…
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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique
Auteurs :
Claude BARDOS, Martin ZERNER
Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « amélio…
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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications
Auteur :
Martin ZERNER
On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, celles…
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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire
Auteur :
Martin ZERNER
Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous a…
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
Auteur :
Jean DIEUDONNÉ
Dans le chapitre "Équations différentielles et équations aux dérivées partielles" : …
développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations aux *dérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces. Dans l'étude de ces équations, le xixe siècle se marque encore par un changement de point de vue assez net : au …
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Bibliographie
C. Bardos, Historique sommaire de l'équation de Korteweg et de Vries, Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques, Villetaneuse, 1983
R. Courant & D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Interscience, New York-Londres, 1962
J. Smoller, Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, Springer-Verlag, New York, 1983
G. Whitham, Linear and Non Linear Waves, Interscience-Wiley, New York, 1974.
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