L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des événements que les équations linéaires ne peuvent pas prendre en compte. Inversement, on peut dire que c'est l'existence de ces phénomènes nouveaux – apparition de chocs ou de singularités, comportement asymptotique profondément différent de celui des problèmes linéaires – qui rend la théorie difficile et qui conduit à faire appel à un arsenal mathématique très vaste. L'interaction avec le reste de la mathématique se fait aussi en sens inverse, car un certain nombre de problèmes abstraits se traitent à l'aide d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Les liens avec l'analyse numérique sont continuels, et s'effectuent dans les deux sens. D'une part, on utilise l'analyse des équations aux dérivées partielles non linéaires pour construire des algorithmes numériques utilisés de plus en plus systématiquement. D'autre part, on se sert de l'ordinateur comme outil d'investigation. On effectue des calculs approchés concernant des phénomènes sur lesquels on ne possède que très peu d'information et, de ces calculs approchés, on déduit des conjectures que l'on s'efforcera par la suite de démontrer. Cette démarche, pressentie par John von Neumann, s'est révélée particulièrement féconde.
Bien entendu, un certain nombre de questions propres aux problèmes linéaires peuvent se généraliser aux problèmes non linéaires si, d'une part, les perturbations dues aux non-linéarités sont petites, et si, d'autre part, la structure des problèmes linéarisés correspondants introduit assez de régularité. Il en est ainsi des théorèmes d'existence des solutions de systèmes elliptiques ou paraboliques non linéaires et du comportement asymptotique de solutions d'équations du type :
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