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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires

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4.  Les équations de réaction-diffusion

On a vu au chapitre 2 que l'étude du comportement asymptotique des solutions de l'équation de Navier-Stokes était encore très fragmentaire. En particulier, il n'est pas possible de démontrer pour les équations de Navier-Stokes des résultats qualitatifs aussi précis que ceux que l'on observe sur des modèles à un nombre fini de degrés de liberté comme le système de Lorenz. Par contre, pour les équations de type Korteweg-de Vries, la méthode inverse a fourni une description complète du comportement asymptotique. Ce chapitre est consacré aux équations de réaction-diffusion pour lesquelles le comportement asymptotique est encore le problème essentiel. Pour ce type d'équation, on ne dispose pas de méthode inverse. On n'aura, en général, qu'un nombre fini d'ondes solitaires ; mais le rapport de parenté avec les équations différentielles ordinaires est bien plus importante et on peut obtenir, dans certains cas, des démonstrations complètes ; on s'appuie en particulier sur la théorie des systèmes dynamiques.

Les équations (ou systèmes) de réaction-diffusion s'écrivent sous la forme :

où u(x, t ) est une fonction vectorielle à valeurs dans Rm définie pour la variable x parcourant un ouvert Ω de Rn. Lorsque Ω est différent de Rn, on suppose que u(x, t ) vérifie sur le bord des conditions aux limites classiques. Dans cette équation, F est une fonction non linéaire régulière définie dans Rn et à valeurs dans Rn ; Δ désigne le laplacien usuel et D(u) est une matrice symétrique positive ou définie positive. Lorsque D est définie positive, le problème est non linéaire et parabolique, lorsque D n'est pas définie positive, on est en présence d'un problème parabolique dégénéré. Dans tous les cas, des méthodes de perturbation permettent de prouver que, pour toute donnée u0(x) définie à l'instant t = 0, il existe au moins, pour t petit et positif, une soluti […]

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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)

Écrit par :  Claude BARDOS, Martin ZERNER

Les équations aux dérivées partielles sont sans doute le domaine des mathématiques où le lien avec la physique est le plus étroit. Il ne s'agit pas seulement du fait que les recherches les plus actives, et en général les plus importantes, ont été motivées par des questions de physique. Il s'agit aussi, et surtout, du fait que les idées… Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

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On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, celles… Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

Écrit par :  Martin ZERNER

Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous… Lire la suite
ANALYSE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Équations différentielles et équations aux dérivées partielles"  : …  développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations aux *dérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces. Dans l'étude de ces équations, le xixe siècle se marque encore par un changement de point de vue assez net : au … Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

Écrit par :  René TATON

Dans le chapitre "Équations aux dérivées partielles"  : …  *En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart des phénomènes physiques dépendent de plusieurs… Lire la suite
CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Une production considérable"  : …  et en optique est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité.* En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait compris très tôt l'importance de la transformation de Fourier (que ce dernier et Poisson… Lire la suite
DARBOUX GASTON (1842-1917)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale (1872-1873). Il fut maître de conférences (1873-1881), puis professeur… Lire la suite
ÉQUATION, mathématique

Écrit par :  Gilles LACHAUD

Dans le chapitre "Équations différentielles"  : …  les coefficients sont constants, ces équations sont résolues par des méthodes d'algèbre linéaire. *Dans une équation aux dérivées partielles, les inconnues sont des fonctions de plusieurs variables, et l'équation comprend la fonction f et ses dérivées partielles ∂f /∂x, etc. Le Laplacien Δf d'… Lire la suite
EULER LEONHARD (1707-1783)

Écrit par :  Christian HOUZEL, Jean ITARD

Dans le chapitre "Mathématiques"  : …  son intégration par une série entière, la résolution de nombreuses équations différentielles ou aux *dérivées partielles par la méthode du facteur intégrant et les équations du calcul des variations. Comme d'Alembert l'avait reconnu à propos des cordes vibrantes en 1747, l'intégration d'une équation aux dérivées partielles fait intervenir des… Lire la suite
FORME

Écrit par :  Jean PETITOT

Dans le chapitre "Caustiques et optique écologique"  : …  géométrique et optique ondulatoire. C'est celui qu'on trouve en général dans les équations aux *dérivées partielles hyperboliques ; l'existence d'une infrastructure hamiltonienne (bicaractéristiques, caractéristiques, etc.). À l'opérateur D est associé l'hamiltonien H(q, p) = 1 − | p |2, dit symbole… Lire la suite
FOURIER JOSEPH (1768-1830)

Écrit par :  Louis CHARBONNEAU

Dans le chapitre "L'œuvre mathématique"  : …  mathématique, les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux *dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une « fonction arbitraire » par une série trigonométrique. Par exemple, en résolvant l'équation : avec les conditions aux… Lire la suite
FREDHOLM IVAR (1866-1927)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce poste jusqu'à sa nomination, en 1906, comme professeur de mécanique… Lire la suite
GREEN GEORGE (1793-1841)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien anglais, né et mort à Sneinton (près de Nottingham). George Green, à travers sa recherche d'une formulation mathématique de la théorie de l'électricité statique et du magnétisme, est le créateur de la théorie du potentiel. Boulanger de son métier, il s'initia seul aux mathématiques, principalement en lisant les mémoires de Poisson, et… Lire la suite
HADAMARD JACQUES (1865-1963)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Équations aux dérivées partielles"  : …  étroit avec l'« intuition physique », Hadamard a consacré un grand nombre de publications aux *équations aux dérivées partielles et s'est toujours intéressé à ce sujet. On lui doit tout d'abord la notion de « problème correctement posé ». Amené à l'introduire par une réflexion sur la signification physique de nombreux problèmes aux limites, il… Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par :  Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23"  : …  on s'intéresse à la classe des fonctions « différentiellement algébriques », c'est-à-dire solutions *d'équations différentielles (ou aux dérivées partielles) non linéaires de type polynomial. Cet exemple est beaucoup plus restreint (comme des résultats de Hölder le montraient déjà), mais Hilbert semble avoir pressenti que ces fonctions pourraient… Lire la suite
HÖRMANDER LARS (1931- )

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien suédois, lauréat de la médaille Fields en 1962 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 24 janvier1931 à Mjällby (Suède), Lars Hörmander est le fils de l'instituteur d'un petit village de pêcheurs de la côte sud suédoise. Il fait ses études supérieures à l'université de Lund sous la direction de… Lire la suite
KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Mathématiques appliquées"  : …  Kolmogorov *a consacré de nombreuses publications aux équations aux dérivées partielles de la physique. Les équations de Navier-Stockes étaient le prototype des équations qui interviennent dans l'étude de la réaction-diffusion, la turbulence et la mécanique statistique. En 1931, Kolmogorov a introduit une vaste classe d'équations aux dérivées… Lire la suite
KOVALEVSKAÏA SOFIA VASSILIEVNA (1850-1891)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Femme de lettres et mathématicienne russe, née à Moscou et morte à Stockholm. Le nom de Kovalevskaïa reste attaché à la théorie des équations aux dérivées partielles. Issue d'un milieu aristocratique et riche (elle était fille d'un général d'artillerie), Sofia Vassilievna épousa, en 1868, un jeune paléontologiste, V. Kovalewski, et alla étudier les… Lire la suite
LAX PETER (1926- )

Écrit par :  Jeremy John GRAY,  Universalis

…  l'institut Courant de sciences mathématiques en 1972. Il prend sa retraite huit ans plus tard. Les *équations aux dérivées partielles sont l'une des manières fondamentales par lesquelles mathématiciens et scientifiques décrivent des phénomènes naturels et mathématiques qui dépendent de plusieurs variables. Dans l'étude des équations aux dérivées… Lire la suite
LERAY JEAN (1906-1998)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment. Né à Chantenay, près de Nantes, Jean Leray a été élève de l'École normale… Lire la suite
LICHNEROWICZ ANDRÉ (1915-1998)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien français dont les travaux portent sur la géométrie différentielle, la mécanique et la physique mathématique. Né le 21 janvier 1915 à Bourbon-L'Archambault (Allier), élève de l'École normale supérieure, André Lichnerowicz a enseigné dans les universités de Strasbourg (1941-1949), puis de Paris (1949-1952). De 1952 à 1986, il a été… Lire la suite
LIE SOPHUS (1842-1899)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "La théorie des groupes de Lie"  : …  paramètres sont « effectifs », les fonctions fi de (1) vérifient une* équation aux dérivées partielles : où la matrice (ξki) est de rang maximal et det (Ψij) ≠ 0. Réciproquement, si les fonctions fi ont cette propriété, les formules (1) définissent… Lire la suite
LIONS PIERRE-LOUIS (1956- )

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien français, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 11 août 1956 à Grasse (Alpes-Maritimes), fils du mathématicien Jacques-Louis Lions (1928-2001), Pierre-Louis Lions est élève à l'École normale supérieure de Paris, puis soutient sa thèse de doctorat en 1979… Lire la suite
MORAWETZ CATHLEEN (1923- )

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicienne américaine d'origine irlandaise, spécialiste des équations aux dérivées partielles. Cathleen Morawetz, née Synge, est la fille du mathématicien irlandais John Lighton Synge (1897-1995). Née le 5 mai 1923 à Toronto où son père enseignait, elle passe son enfance à Dublin avant de retourner à Toronto en 1930. Elle y fait toutes ses… Lire la suite
ONDES, physique

Écrit par :  Mikhael BALABANE, Françoise BALIBAR

Dans le chapitre "Détermination du concept"  : …  de temps, de l'amplitude Ψ(r⃗, t). Là encore, les ondes font contraste avec les particules : alors que les équations d'ondes sont des *équations aux dérivées partielles dont l'une des plus courantes s'écrit : les équations du mouvement des particules sont des équations différentielles ordinaires par rapport à la seule variable t… Lire la suite
OPTIMISATION & CONTRÔLE

Écrit par :  Ivar EKELAND

Dans le chapitre "Équations aux dérivées partielles"  : …  *Soit Ω un ouvert borné de Rn. Si l'on cherche, dans un espace fonctionnel approprié, les fonctions x : Ω → RN prenant des valeurs données sur le bord de Ω et minimisant l'intégrale : où (∂x/∂t) (t) représente la matrice des (∂xj/∂t… Lire la suite
PHYSIQUE - Physique et informatique

Écrit par :  Claude ROIESNEL

Dans le chapitre "Méthode des éléments finis"  : …  Il existe en physique mathématique trois grandes classes *d'équations aux dérivées partielles, illustrées chacune par un type de phénomène bien particulier. Il y a les équations de type elliptique, qui apparaissent dans les études de régime stationnaire en électricité, en mécanique ou en thermique. Les équations de type parabolique sont… Lire la suite
PICARD ÉMILE (1856-1941)

Écrit par :  Michel HERVÉ

Dans le chapitre "La méthode de Picard"  : …  de Picard la méthode des approximations successives, dont les applications sont nombreuses : *aux équations aux dérivées partielles (dans le Journal de Liouville de 1890) ; aux équations différentielles (dans une note du 18 mars 1891 au Bulletin de la S.M.F.) ; aux équations intégrales (cf. équationsintégrales, chap… Lire la suite
POINCARÉ HENRI (1854-1912)

Écrit par :  Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY

Dans le chapitre "Physique mathématique et physique théorique"  : …  à s'intéresser à la physique mathématique, en raison du lien de ces équations, en particulier des *équations aux dérivées partielles du second ordre, dont la plus simple est celle de Laplace, Δu = 0, avec les lois des phénomènes physiques les plus divers. La distribution électrique, le magnétisme, l'hydrodynamique, les équations de… Lire la suite
THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier)

Écrit par :  Bernard PIRE

  *Les travaux de Joseph Fourier (1768-1830) sur la propagation de la chaleur, entrepris dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère, présentés en 1811 dans un mémoire à l'Académie des sciences et rassemblés en 1822 dans le livre Théorie analytique de la chaleur, ont joué un rôle fondamental dans le… Lire la suite
THERMIQUE

Écrit par :  Jean Joseph BERNARD, Jeanne GÉNOT, Bernard LE FUR

Dans le chapitre "Régimes instationnaires"  : …  *L'équation de la chaleur (6) est une équation aux dérivées partielles linéaires du type parabolique. On pourra ainsi obtenir la solution générale d'un problème thermique en superposant linéairement des solutions particulières. Des solutions analytiques ont été obtenues lorsque la température ne dépend que d'une seule variable d'espace, soit d'une… Lire la suite
WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en… Lire la suite
WHITTAKER sir EDMUND (1873-1956)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien anglais dont les travaux portent principalement sur les équations différentielles et aux dérivées partielles et sur leurs applications à la physique mathématique et à l'astronomie. De 1906 à 1912, Whittaker fut Royal Astronomer of Ireland à Dublin. Il fut nommé alors professeur à l'université d'Édimbourg, où il restera jusqu'à sa… Lire la suite
YAU SHING-TUNG (1949- )

Écrit par :  Bernard PIRE

…  Harvard en 1987. Les travaux de Yau concernent la géométrie différentielle globale et les *équations aux dérivées partielles elliptiques. Il a en particulier résolu en 1976 la célèbre conjecture d'Eugenio Calabi, formulée en 1954, prouvant l'existence d'une certaine métrique dans une variété compacte kählerienne. Le problème analytique… Lire la suite

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Fonction croissante Solution encadrée par deux ondes Équations de Fitzugh-Nagumo

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